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1、数学教学让学生在几何学习中学会认识和解决问题的方法人民教育出版社中数室章建跃一、引言 数学是中小学课程体系中最重要的课程之一，这是因为它在学校育人的过程中具有独特的作用。这种作用主要体现在开发学生的智力，锻炼学生的逻辑思维，使学生学会认识问题和解决问题的基本方法，并在这个过程中提高推理能力，培育理性精神和创造力。归根到底，数学教育的重要性主要体现在提高国民的思维素质和理性精神上，而其基本途径则是精中求简地选择数学教材，构建体现数学核心概念及其反映的思想方法，符合学生认知水平和思维规律，易学好懂的教材体系，使学生认识数学的基本方法的同时，学会数学地思考和解决问题。 上述对数学教育重要性的认识应该
2、是一种共识，广大数学教师也能认同。问题的关键在于：如何才能使这种认识转化为课堂教学的实践呢？这个问题的解决，又得回到对数学本身的认识上。只有老师理解了数学的基本思想方法，把握了数学地认识和解决问题的“基本套路”，才能在教学中自觉地遵循数学认识问题的轨迹，引导学生经历这样的认识过程，这样才能让学生有机会逐步学会数学地认识和解决问题。换言之，如果老师自己对“数学地认识和解决问题”的方法理解不充分，那么他在教学中就很难把“使学生学会数学地认识和解决问题”做到位。 为了说明上述基本想法，下面从笔者最近听到的一堂图形的旋转课说起。 二、教学过程概要 环节一 课题的引入 先让学生观察转动的陀螺，再让学生欣
3、赏动画，再让学生举日常生活中旋转的例子（学生举出时钟上的指针的转动，飞速转动的电风扇叶片，马路上的汽车轮子的转动，自行车行进中轮子的转动）。然后问： 它们有哪些共同特点？ 学生回答：“转”。由此引出课题：图形的旋转。 本环节的设计意图是：利用直观教具丰富学生的感性认识，使学生感受到除平移、轴对称等图形变换外，还广泛存在着旋转现象，从而产生探究这种变换的欲望。 环节二 定义的教学 教师先利用计算机展示点、线段、三角形绕一个点旋转的动态过程，要求学生在观察后回答问题： 你对旋转是如何理解的？ 在学生回答“物体绕一点旋转”后，老师自己给出结论： 像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，
4、叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P，那么点P和点P叫做这个旋转的对应点。 接着，给出例题1：如图1，ABC是等边三角形，D是BC边上一点，ABD经过旋转后到达ACE的位置。（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？ 图1 老师采取问答式，让学生找对应点、对应角，然后讲解如何找对应点、对应角，步骤清楚，指令明确。接着进行概念的实际应用： 图2 题1 如图2，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心在哪里？旋转角是哪个角？ 题2 钟表的分针匀速旋转一周的时间为60分（1）指出分针的
5、旋转中心；（2）经过20分，分针旋转了多少度？ 这两个问题的目的是引导学生用旋转概念解决问题，巩固概念。其中，学生对问题1的“旋转角”解释不清，教师帮学生说出了答案（没有引导学生“回到定义去”）。 环节三 探索性质 教师事先准备了如图3的学具（含有挖空的旋转中心、点、线段、三角形），让全体学生通过旋转作图来探究旋转的性质，并提出了如下问题： 图3 （1）如图4（a），点A绕点O旋转到点B，线段OA与OB什么关系？ （2）如图4（b），除AOC与BOD外，还有哪个角等于旋转角？这样的角有多少个？ （3）如图4（c），ABC和DEF的形状和大小有什么关系？ 图4 学生操作、说理后，教师自己归纳出性
6、质： （1）对应点到旋转中心的距离相等保距（见注）。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角保角。 （3）旋转前、后的图形全等保形。 在“设计意图”中教师写道：通过实验，让学生经历“画图观察猜想验证”的过程，为引导学生的思维由具体到抽象、由粗略到精细提供载体；培养学生的动手能力、观察能力和探究问题的能力，以及与人合作交流的能力；以问题为导引，逐步对旋转的性质进行探究，这样既突出了重点，又突破了难点。 接着，给出例题2：如图5，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把ADE顺时针旋转90，画出旋转后的图形。 图5 在“设计意图”中教师写道：本题一方面巩固正方形和全等三角形的
7、知识，另一方面进一步增强学生对旋转的性质的理解。观察学生的解题过程，笔者发现有的学生先延长CB到F，使BFDE，再连接AF得到旋转后的图形ABF。 环节四拓展研究，承上启下 教师通过改变旋转的“三要素”（即旋转中心、旋转角和旋转方向），让学生体会，当“三要素”中的任意一个发生变化时，旋转所得的图形都会发生改变，从而既加深学生对本节课内容的理解，也拓展了学生的探究范围，为下节课利用旋转设计图案作好铺垫。 三、对教学过程的分析 （一）以一般的教学理论观点为视角 如果从教学论的一般理论看，本课的教学过程完整。具体而言是： 1课堂教学结构完整，包括课题的引入、旋转的概念和简单应用、旋转的性质和简单应用
8、、对旋转的拓展研究等环节。 2教学方法主要采用问答法，注意学生自主活动和教师讲授的结合，安排了多样化的学生活动。 3对于旋转概念和性质，都先以小组（六人一组）为单位组织学生探究，并在小组活动基础上进行全班交流，最后再由老师总结得出结论。 4旋转概念的教学安排了如下过程： （1）以日常生活情景为载体引入课题，激发学生好奇心和学习兴趣； （2）借助计算机动态演示点、线段和三角形绕一点旋转，让学生观察后回答“你是怎么理解旋转的？”然后教师给出旋转的概念； （3）教师通过“有哪些关键词值得注意？”引导学生辨析旋转概念，并强调旋转的“三要素”； （4）安排“等边三角形绕一个顶点旋转”的例题，应用“三要素
9、”解决问题，并强调“找对应点、对应角”的操作步骤； （5）安排有实际背景的应用题，进一步加深对旋转概念的理解。 上述过程概括起来就是：概念的引入概念内涵的归纳概念的明确（给定义）概念的辨析概念的应用（用概念解决问题的基本操作步骤）。因此，概念教学环节很完整。旋转的性质的教学过程也是完整的，这里不再赘述。 5从教学设计中看到，教师注意到了数学与生活的联系，想让学生经历“画图观察猜想验证”的完整思维过程，并要“培养学生的动手能力、观察能力和探究能力，以及合作交流能力”等，结合教师的课堂教学实践，我们可以发现教师具有贯彻“新课程”理念的强烈愿望，而且也在努力实践。 因此，以一般的教学理论为视角，虽然
10、在教学活动的组织实施、教师的教学行为和教学艺术等方面也有一些需要改进的，但整体上看这堂课没有大的瑕疵。 然而，如果从数学的角度，从发挥数学的内在力量开展育人活动的角度，从使学生学会认识问题、解决问题的方法的要求等审视本节课，那么需要改进的工作是大量的，而且许多都是带有根本性的。 （二）以数学课程的育人功能为视角 实现数学课程的育人目标，根本上还是要发挥数学的内在力量。这就要求教师在日常教学中，以数学概念的发生发展过程为载体，使学生经历完整的数学思考过程，包括：明确研究的问题，获得研究的对象，确定研究的内容，选取研究的方法，安排研究的进程，获得研究结论。只有这样，才能让学生逐步树立从数学的角度看
11、问题的观点，逐步掌握数学思考的过程与方法，进而学会数学地认识和解决问题。从这样的要求来审视，本课的教学需要改进的问题有： 1关于研究问题的明确，教师在引入过程中给出的“转动的陀螺”情景，学生举出日常生活中旋转的例子，与本课要研究的课题有很大的差距，其中有的是“空间转动”（如转动的电风扇叶片），有的是转动与平移的合成（如转动的陀螺、汽车轮子的转动），也有的可以看成是“图形的旋转”（如时钟上指针的转动）。因此，在没有对这些图形的运动类型作适当区分的情况下，只由“它们的共同特征是转”是不能引出课题“图形的旋转”的。这里需要有教师的引导性语言的过渡。 2关于研究对象的获得，即定义的教学，教师在演示点、
12、线段和三角形绕一点旋转的多媒体课件后，问“你对旋转是如何理解的？”在学生回答“物体绕一点旋转”后就直接给出旋转的定义，这并不能使学生获得研究对象。其中存在三个问题：一是抽象的过程很不充分，没有对若干典型具体事例的共同特征的归纳过程，因此概括出旋转概念缺乏基础，这将给后续的所有相关学习埋下隐患；二是“你对旋转是如何理解的？”的数学指向不明，改为“要确定一个图形的旋转，需要哪些要素？”这样可以把学生的思维引导到“数学地刻画研究对象”上；第三，没有重视“对应点”这一附属概念的教学，这也会给后续研究埋下思想方法方面的隐患（旋转的性质往往归结为对应点的关系）。 3关于旋转的性质的研究，教师在学生动手操作
13、之前，没有对什么叫“旋转的性质”、如何研究“旋转的性质”等作出必要的说明，这样就使学生的操作活动带有很大的盲目性。尽管老师提出的三个问题对旋转作图的目的有一定的引领，但其实际效果也只是学生“按照老师的指令做”。 实际上，图形的旋转是一种图形的运动，教学中必须使学生明确，所谓研究“旋转的性质”，就是要考察旋转前后图形的关系。由“点动成线，线动成面”，首先应当研究清楚“对应点”之间的关系；由于几何关系中最基本的是“形状、大小、位置”，所以还应研究旋转前后图形的形状、大小和位置关系。在研究的思想方法上，一定要强调利用好确定这个旋转的“三要素”，这样才能使学生想到把对应点与旋转中心连接起来，进而水到渠
14、成地发现性质（这也是具有普适意义的思想方法，例如研究圆的性质要利用好圆心和半径）。 4在概念、性质的应用教学中，没有强调“如何应用概念、性质解决问题”，在学生遇到困难或出现错误时，没有引导学生“回到定义去”。 实际上，“概念是思维的细胞”。在解答数学问题时，学生找不到思维的切入点，很大的原因是他们还没有养成“回到基本概念去，从概念的联系中寻找解决问题的思路”的习惯。像例2的教学，要引导学生思考如下问题：（1）决定这个旋转的“三要素”是什么？（2）旋转后的图形与ADE有什么关系？（3）要画出旋转后的图形，关键就是要确定哪些点？当然，具体教学时，可以在学生做完后让他们回答“你是怎么做的？为什么？”
15、也可以让学生先思考上述问题后再完成作图。 5如何为后续学习埋下伏笔？教师通过改变“三要素”让学生观察“旋转效果的变化”，这里并没有留下什么悬念，在数学内容上没有发展的空间。 实际上，学习本节内容，除了研究“图形的旋转”本身的一些性质外，最主要的目的是利用这些性质去解决一些其它几何问题。其中最重要的是利用图形的旋转不改变图形的形状和大小，去探索一些几何图形的性质。所以，这里可以安排一些找两个全等图形（线段、三角形、平行四边形、正多边形、圆）的旋转中心、对应点、对应边、对应角等作业。 四、体现平面几何“基本套路”的教学设计 从上述分析中我们可以归纳出如下几何研究的“基本套路”： 明确问题定义对象研究性质（判定）应用。 其中，“明确问题定义对象”体现了数学研究对象的抽象过程和数学概念发生发展的完整过程，体现了“数学教学要讲背景”的要求；“定义对象研
