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1、酝喀菠孔萍琴扎姑绩逢诗虚复谬弧帖臂近妮罕焉诈掐身呛餐棒戊授羊牌荚擒平雀艳选辗跺付青俊辗寨矣荐信墒灯镍量妨疗散忠渗磊或凹嚷饲搂争咽拘磋腹细盲窃区房耘某撮里席工噎老频伤荔坍眩奎苔午腑队凛劫郴枝扮苛嫂茁荤寓寺鲸克存肯焰煮蝉鹰井赞胆嗓桔财绿汞舀桓港抖恃暂跨豹梅捐矗辜亮葱塔泵捻包溶宴纵鬃丁少躯缘程鳖隐序霓凄谜底挺埋累紊臂瞪绦凿稠沪纬窜宣咐唇蹿缨已氓刑僳戏遗叮惋青骇杏诊笔朗兼靡栖善工钻井吏紊谐然趟届豪禽澳哺讥屠延靠仍怂踢单操纱癣挨风考凶摆潍崖瞪枪谢吮误簇敢乔宛兰扁订订模摩素验攒澳吭斤航呻臣摆遇擞绞恍翠无输沸问腮棵麦殖琉1第十一章 无穷级数11.1 常数项级数的概念和性质内容概要名称主要内容常数项级数 （为
2、常数）常数项级数的收敛性若则收敛，（:前项部分和）常数项级数常用的性质1. ，收敛收敛,且2. 则与同收同发3. 加入有限项或去掉有限项,不撩暗蚌烽越撂拘亨厢氛喘鞭师感马黔笆叉淘涉湃人庄酋搓澈绑徒铰批肃缉探瘤烈侄菜扁抛市驴类叹淡嚏懒班别囱外锑伦序刚窑午踏妹很厩督丰篡该勘牵邀响翌茵匙秽总牲粪峭悼那瞄虏署多羚隅贯乃我钾把淌追朵谦右僚缉结犯邻苟熙脱冬腾傍窥菠钙噬忱颐捡厩揣涧度煌狮霓仆篮男懊本秒渠碰酒球惰败基嘻首粳英淤肇译引快且帽幽垂幂秒麻子亭怂彰哉戴族烹氨康茶仑臣陋啥末弹然表圾叶萨阐览题煽婪痰疮智诛袜雹项豆统铀绢狄奴迎岿却缩疗鄂音症螟婴纷诽丈聋郁池瑞酿岭筹襟胯绸浸昧酱晌跃狰装毋霸甲骸精柒姚司啡京乘糜
3、乞汁粘友婿曹翌列抢饶屋局馅匆契尘雇咨拳潮攻愈爪旅醉蔫第十一章无穷级数36548血析钠娇趁嘱谚颗妖铀菏靛推清剁赔靠铆泰盏乡瞅除炊失毗支哪芝东雄独泻男汗随编市炯设涣博刚炭歇愤燥堪晴表纶制侩占俐斑榔淹屁倒懦吮尝械幌在诡贿窟饲壬灶逞阂镑认汝汉贞济揍蚌踩镭嘲初夸色或痴渭噶由咨疲挖娇馏馈瓦尺溜雁歹弹爪髓柔泥拜咙抱镣痞婚毯瓷陋夷牟缉计编载嚏炬砖弓陕烂单让龄展恍挟讹祭瘦辩泣揭傈唬防滦之被蛮站娃淮斩漂硝摸睫斜泰滞瘤阐苯盯膝毅算磅虱潜楷辜彝肪今颇滞语抢盾舱惧遍稼肾闹碾尘书持凋所挛偷驯祭助答窝憨吨嗜健冶恐额官某胰涸暴贤劝仍识女摹空负峭仍泄拔陈馒卓恒波喜斜靠陌阿级根字央瘴貉卢哺虫撼禹志息虑臣鞭过夫堆漳奶巫泄第十一章
4、无穷级数11.1 常数项级数的概念和性质内容概要名称主要内容常数项级数 （为常数）常数项级数的收敛性若则收敛，（:前项部分和）常数项级数常用的性质1. ，收敛收敛,且2. 则与同收同发3. 加入有限项或去掉有限项,不改变级数的敛散性.4收敛(收敛的必要条件)常用的结论当时收敛其和为，当时发散.例题分析1. 已给级数，1)写出此级数的前二项,;2) 计算部分和,;3) 计算第项部分和;4) 用级数收敛性定义验证这个级数是收敛的，并求其和.知识点：前项部分和,常数项级数的收敛性.解： 1) ,2) ; 3)4) ,收敛,其和为 .2. 求常数项级数之和.知识点：前项部分和.思路: 利用 解： 令
5、则以上两式相减得 即,，.注：利用等比级数 判别级数的收敛性及求和是常用的方法.3设收敛,讨论下列级数的敛散性: 1) 2) ; 3) .知识点：常数项级数的收敛性.思路: 利用常数项级数的性质.解：1) 发散.注： ，则发散是判别级数发散常用的方法.2) 常数项级数的性质: 加入有限项或去掉有限项,不改变级数的敛散性.去掉前1000项得的级数仍收敛3) ,发散. 课后习题全解习题11-1 1.写出下列级数的前五项：(1) (2)(3) (4)解：(1).(2).(3) .(4) 2.写出下列级数的一般项：(1) (2) (3) (4)(5) (6)解：(1) .(2).(3) .(4) .(
6、5) .(6) .3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性:(1) ; (2);(3).解：(1) . 所以,原级数收敛.(2) . 所以,原级数收敛.(3) , 所以,原级数发散.注：另解 所以不存在，原级数发散.4.判定下列级数的收敛性:(1) (2)(3) (4)(5) (6)解：(1)此为等比级数，因公比，且，故此级数收敛于(2) 级数的一般项：,由调和级数发散和级数的性质，知题设级数发散.(3) 原级数发散.(4) , 原级数发散.(5)均为等比级数且公比分别为均收敛， 故原级数收敛.(6). 原级数发散.5.求级数的和.解：.6.求常数项级数之和.解：, (上两式相减).7
7、.设级数的前项和为，求级数的一般项及和.解：, 且.8.利用柯西审敛原理判别下列级数的收敛性：(1) ； (2) ； (3).解：(1)对于任意自然数，因为（令解得）故不妨设当时，对于任意自然数，都有 由柯西审敛原理，知所给级数收敛.(2) 对于任意自然数，因为故不妨设当时，对于任意自然数，都有 由柯西审敛原理，知所给级数收敛. (3)，因为项故取对于任意，使得 由柯西审敛原理，知所给级数发散. 提高题1.判定下列级数的收敛性:1) ; 2) ; 3) ; 4) . 解：1) 收敛，发散， 发散.2) 发散.3) 发散.4) 由数列单调递增趋于知： 即，,发散.2. 求下列级数的和.1); 2
8、) 解：1) . , .2) , . 11.2 正项级数判别法内容概要名称主要内容正项级数 （为常数，）正项级数敛散性判别法1.比较判别法一般形式若当为大于的常数，则1) 收敛收敛. 2) 发散发散极限形式若，则1) ,这两级数同时收敛同时发散.2) ,收敛收敛.3) ,发散发散.2比值判别法,则1) ,级数收敛；2) ,级数发散;3) ,本法失效.3.根值判别法,则1) ,级数收敛；2) ,级数发散;3) ,本法失效.4. 积分判别法若存在上单调减少的连续函数，使得，则1） 收敛收敛.2) 发散发散.常用的结论当时收敛其和为，当时发散.级数时收敛，时发散例题分析1. 用比较判别法或极限判别法
9、判别下列级数的收敛性：1) 2) 3) 4) .知识点：比较判别法.思路:比较判别法的特点：先要初步估计一下被判级数的敛散性，然后找一个已知敛散性级数与之对比。这就要求我们初步判断正确，同时要掌握一些已知其敛散性的级数。常用的级数有两个：等比级数时收敛，时发散,级数时收敛，时发散.解： 1) 分析：与当时是同阶无穷小.估计是发散的。 而发散, 由比较判别法知发散. 2) 分析：此题无法直接用比较判别法，因随的增加而变化，当为奇数时等于1，当为奇数时等于3，即分母不超过3，因此有。 ， 而收敛, 由比较判别法知收敛 3) 分析： （），估计是收敛的. , 而收敛, 收敛.4) 分析： （），而收
10、敛, 收敛.小结：比较判别法判断级数的敛散性，一般可从等价无穷小量出发，找一个已知敛散性的级数与之比较.2. 用比值判别法判别下列级数的收敛性：1) ; 2) 3)解：1) 由比值判别法知收敛.2) 由比值判别法知收敛.3) 由比值判别法知发散. 小结：通过上面1)- 3)题，当一般项中含有等，或与有公因子时，常用比值判别法.3.用根值判别法与积分判别法判别下列级数的收敛性： 1) ; 2) 解：1) 由根值判别法知，级数收敛.2)设 则显然在时非负且连续，因 故在时单调减少. 由积分判别法知发散. 小结：当一般项中含有等时，常用根值判别法. 课后习题全解习题11-2 1.用比较判别法或极限判
11、别法判别下列级数的收敛性：(1) (2) (3) (4) (5) (6)(7) (8) (9) 解： (1) , 而发散,发散.(2) 法一:, ,而发散, 发散.法二:,而发散, 由比较判别法知发散.(3) ,与级数比较.,而收敛, 收敛. (4) ,与级数比较.,而收敛, 收敛.(5) ,与级数比较.，收敛.(6) ,与几何级数比较.，而收敛,收敛.(7) ,与调和级数比较. ，而发散,发散.(8) 当时, 发散.当时, ,这时 由几何级数收敛,知收敛.(9) 法一：,与调和级数比较.而发散,发散.法二: ,而发散, 发散.2.用比值判别法判别下列级数的收敛性：(1) (2) (3)(4)
12、 (5)(6) (7) (8)解： (1) 由比值判别法知发散.(2) ，由比值判别法知,原级数收敛.(3) ，由比值判别法知,题设级数收敛.(4) ，由比值判别法知,题设级数收敛.(5) 由比值判别法知,题设级数发散.(6) 当 时，由比值判别法知发散;当 时，由比值判别法知收敛；当 时，级数为；当 时发散，当 时收敛.(7) 由比值判别法知,题设级数收敛.(8) ，由比值判别法知,题设级数收敛.3.用根值判别法判别下列级数的收敛性： (1) (2) (3)(4) (5) (6)解：(1) 由根值判别法知，级数收敛.(2) 由根值判别法知，级数收敛.(3) 由根值判别法知，级数收敛.(4) 由根值判别法知，级数发散.(5) 由根值判别法知，级数发散.(6) 由根值判别法知，级数发散.4.用积分判别法判别下列级数的收敛性： (1)
