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1、 第十讲 二项分布及应用 随机变量的均值与方差知识要点1.事件的相互独立性(概率的乘法公式)设A、B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立2. 互斥事件概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)3.对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)1P(B)4.条件概率的加法公式：若B、C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)5.独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用Ai(i1,2，n)表示第i次试验结果，则 P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An)注：判断某
2、事件发生是否是独立重复试验，关键有两点(1)在同样的条件下重复，相互独立进行；(2)试验结果要么发生，要么不发生6.二项分布：在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率注：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点(1)是否为n次独立重复试验(2)随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数7.离散型随机变量的均值与方差及其性质定义：若离散型随机变量X的分布列为P(xi)pi，i1,
3、2，n.(1)均值：称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望(2)方差：D(X) (xiE(X)2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差(3)均值与方差的性质：(1)E(aXb)aE(X)b；(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)8.两点分布与二项分布的均值、方差变量X服从两点分布： E(X)p ， D(X)p(1p)； XB(n，p)： E(X)np ，D(X)np(1p)典例精析例1.【2015高考四川，理17】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加
4、集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.例2如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ( )A0.960 B0.864 C0.720 D0.576例3.(2013山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五
5、局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分，对方得1分求乙队得分X的分布列及数学期望例4.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为.(1)求选手甲答题次数不超过4次可进
6、入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛 中答题的个数，试写出的分布列，并求的数学期望例5.(2014福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及数学期望(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡下面给出两种方案：方案1：4个球中所标面值分别为10元，10
7、元，50元，50元；方案2：4个球中所标面值分别为20元，20元，40元，40元如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案？例6(13分)如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图 (1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差例7(12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)： (1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9，
8、则称该人的幸福度为“极幸福”求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望例8.【2015高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分
9、布列和数学期望.例9.（2016 河北张家口市 三模21）（本小题满分12分） 设函数()若，求的单调区间；()若当时，求的取值范围参考答案例1.【2015高考四川，理17】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.【答案】（1）A中学至少1名学生入选的概率为.（2）X的分布
10、列为：X的期望为.【解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B中抽取（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为.因此，A中学至少1名学生入选的概率为.（2）根据题意，X的可能取值为1，2，3.，所以X的分布列为：因此，X的期望为.例2如图1081，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为(B)A0.960 B0.864 C0.720 D0.576【答案】B 至少有一个正常工作的概率为 ，则系统正常工作的概率为 例3.(2013山东高考
11、)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分，对方得1分求乙队得分X的分布列及数学期望【尝试解答】(1)记“甲队以30胜利”为事件A1，“甲队以31胜利”为事件A2，“甲队以32胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)3，P(A2)C2，P(A3)C22.所以甲队以30胜利，以31胜利的概率都为，以32胜利的概率为.(2)设“乙队以3
12、2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)C22.由题意，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2).又P(X1)P(A3)，P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)，故X的分布列为X0123P所以EX0123.例4.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被
13、淘汰，已知选手甲答题的正确率为.(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛 中答题的个数，试写出的分布列，并求的数学期望【尝试解答】(1)选手甲答3道题进入决赛的概率为3，选手甲答4道题进入决赛的概率为C2，选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率P；(2)依题意，的可取取值为3、4、5，则有P(3)33，P(4)C2C2，P(5)C22C22，因此，有345PE345.规律方法2求离散型随机变量的均值与方差的方法：(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解(2)若随机变量XB(n，p)，则可直接使用公式E(X)np，D(X)np(1p)求解例5.(2
14、014福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及数学期望(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡下面给出两种方案：方案1：4个球中所标面值分别为10元，10元，50元，50元；方案2：4个球中所标面值分别为20元，20元，40元，40元如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案？【解答】(1)设顾客所获的奖励额为X.依题意，得P(X60)，即顾客所获的奖励额为60元的概率为.依题意，得X的所有可能取值为20,60.P(X20)，P
