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1、第一节坐标系【最新考纲】,了解坐标系的作用.了霹臣平而瓦闻空标廉忡轴变换作用下平而阳奉的受化情抚.乱了解板坐标的基 本旣念*令柱槻坐标系申用擾坐标刘莎点的位豐+能进荷接世标和直旬坐标的互ft. 3.能在征坐标索中绐出简单图飛表示的 皈坐掾方桎.夯实双基 I基础梳理1. 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P（x, y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换x=入 X 入 0 , ：,/ n的作用下，点P（x, y）对应到点P（xly =亘，y （0y），称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2. 极坐标系与点的极坐标（1）极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点0（极点），自极点0引一条射线0x（极轴
2、）;再选定一个长度单位，一个角度单位（通常 取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标 系.0M的长度p和从Ox到0M的角度0来刻画，这两个数组成的有序数对（p 0 ）称为点M的极坐标.其中p称为点M的极径，0称为点M的极角.3. 极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(厂极坐标(互化jr=pcos 02 2 2 P 工十了公式(jf = sin 0tan 0=丄(丁工0)文4.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为 厂的圆圆心为0,0),半径为F的圆Q)-p=2rcos Q(2 2 )圆心为(心于)，半径为厂的圆0Xp 2rsin 05.直线的极坐标方程(1)直线
3、I过极点，且极轴到此直线的角为a则直线I的极坐标方程是0= a p R).(2) 直线I过点M(a , 0)且垂直于极轴，则直线I的极坐标方程为pcos_0 = a.直线过m b, n且平行于极轴，则直线|的极坐标方程为psin B= b.学情自测1. (质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“”，错误的打 “X” )(1) 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.()(2) 若点P的直角坐标为(1 , - 3)，则点P的一个极坐标是 (nF，- 3 J()(3) 在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.()(4) 极坐标方程0= n (戸0)表
4、示的曲线是一条直线.()答案： X (2)V (3)V (4)X2. 若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y= 1-x(0x 1)的极坐标方程为()-1，八，兀A. p =, 0w 0 w石cos 0 + sin 021anB p =, 0 w 0 wp cos 0 + sin 04nC. p = cos 0 + sin 0 , 0w 0 w _p = cos 0 + sin0w# / 9解析：丁y = 1 x(0wxw 1), a sin 0=1 pcos0(0w pcos 0w 1)；np=(0 0 o).sin 0+cos 02答案：A3. （2015湖南
5、卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为p= 2sin9，则曲线C的直角坐标方程为解析：由 p= 2sin 0,得 p= 2 psin 0.二曲线C的直角坐标方程为x2+ y2 2y= 0.答案：x2 + y2 2y= 0.4.（2015广东卷）已知直线I的极坐标方程为2psin点A的极坐标为A 2 2,则点A到直线I的距离为解析：由2 ein号sin 0 号cos0= 2,/y x= 1.7n,得点A的直角坐标为（2, 2）.点A到直线I的距离d=|2+ ； 1|= J答案：522=cos 0 禾口5 .在极坐标系中曲线Ci和C2的方
6、程分别为ein2 0psin 0 = 1以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系，则曲线 Ci和C2交点的直角坐标为 解析：由 psin2 B=cos B,得 psin2 0=pcos 0,-y2 = x,由 psin B-1,得 y= 1,y2 = x由，解得x= y= 1,a交点为（1, 1）.y= 1答案：（1, 1）名师微博通法领悟-一种区别平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一.两种方法1. 确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可.2. 直角坐标（x, y）化为极坐标（p 0 ）的步骤（1）
7、运用 p=x2+ y2, tan 0 = X（x 0）;在0, 2n ）内由tan 0 = x（xz0）求0时，由直角坐标的符号 特征判断点所在的象限（即0的终边位置）.两点注意进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，1. 注意p, 0的取值范围及其影响.2. 重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.井辰集训I单眩咸册M效提! h & Un1. （2017西安质检）在极坐标系中，求点2,石到直线i 6pin % -6 j= 1 的距离./X解：点2,上化为直角坐标为（3, 1）,j 6丿 冗、 3i直线 ein Q = 1 化为 prsin 0cos 0 = 1,i 6丿22丿得乎y-2x=
8、1,即直线的方程为x 3y+ 2= 0,故点（3 , 1）到直线x 3 y + 2 = 0的距离d =| 3X 1 3X 1 + 2|12 +( 3) 21.2 .在极坐标系下，已知圆 *=O: p= cos 0 + sin 0 和直线 I:（1）求圆O和直线I的直角坐标方程；当0 （0, n ）时，求直线I与圆O公共点的一个极坐标. 解：（1）圆 0: p= cos 0 4sin 0,即 p2= pcos 0+psin 0, 圆0的直角坐标方程为：x2 + y2 = x+ y,即 x2 + y2 x y= 0,直线 I: psin 0n = ，即卩 ein 0pcos 0=1,i 4丿2#
9、/ 9则直线I的直角坐标方程为：y x= 1,即x y+1 = 0.x2 + y2 x y= 0,x= 0,由得lx y+1 = 0,ly= 1,/ 、,n故直线I与圆O公共点的一个极坐标为1 .J，2.丿3. （2015安徽卷改编）在极坐标系中，求圆p= 8sin B上的点到n 直线0= 3（乐R）距离的最大值.解：圆p= 8sin 0化为直角坐标方程为x2+ y2 8y= 0,即x2 + （y24）2 = 16.直线0= 3（乐R）化为直角坐标方程为y= 3x,结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的 距离再加上半径.圆心（0, 4）到直线y = 73x的距离为/ 22= 2
10、,又圆的V （衍）2+12半径r = 4,所以圆上的点到直线的最大距离为 6.4 . （2016太原调研）在极坐标系中，曲线C的方程为 P2 =3n1 + 2sin2 0，点 R（22, 4）.（1）以极点为原点，极轴为 x轴的非负半轴，建立平面直角坐标 系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为 直角坐标；设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形 PQRS周长的最小值，及此时 P点的直角坐标.解：(1)v x= pcos 0,y= psin 0,2曲线C的直角坐标方程为:+ y2= 1,点R的直角坐标为R(2, 2).(2)设 P( 3cos
11、 0,sin 0,根据题意可得 |PQ|= 2- 3cos 0,|QR|=2sin 0,JPQ |+ |QR|= 4 2sin ( + 60 ,当0= 30时，|PQ| + |QR|取最小值2,二矩形PQRS周长的最小值为4,31此时点P的直角坐标为(2, 2).,n5.在极坐标系中，已知圆 C的圆心C 3 ，半径r = 3.3丿(1) 求圆C的极坐标方程；(2) 若点Q在圆C上运动，点P在0Q的延长线上，且OQ = 2 QP, 求动点P的轨迹方程.解：设M(p ,0)是圆C上任意一点.n在厶OCM中，/COM = 03，由余弦定理得3/ 、|CM|2= |OM|2 + |OC|2 2|OM|
12、 |OC|cos 0n ,3丿/ 、n化简得 p= 6cos 0_ .3丿设点 QS , 0i), P( p 0),由 oQ = 2QP，得 oQ = 3oP ,2P= 3 P， 0 = 0，代入圆C的方程，得/ 、nI0 6,即 p= 9cosn=6cos6.从极点O作直线与另一直线I: pcos 0 = 4相交于点M，在OM 上取一点 P,使 OM OP = 12.（1）求点P的轨迹方程;设R为I上的任意一点，求|RP|的最小值.解：（1）设动点P的极坐标为（,0, M的极坐标为（o,0）则p e=12.T 0COS 0=4, p =cos 0,即为所求的轨迹方程.将p= 3cos0化为直角坐标方程,得 x2 + y2= 3x,知点p的轨迹是以|, oj为圆心，半径为2的圆.直线I的直角坐标方程是x= 4.结合图形易得|RP|的最小值为1.# / 9
