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1、2023年天津市大学数学竞赛试题 （理工类）一、填空：（本题15分，每小题3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1. 已知则其中的常数2. 设函数在区间上有连续的二阶导数，a0且在x=a处取得极大值，则积分3.4. 设抛物线上一点P的横坐标为c（c2），点Q（c，0）.如图，直线和与弧围城的图形为，三角形OPQ记为，和绕x轴旋转一周所成旋转体的体积分别为和.当时，=.5. 设连续且，空间区则二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是对的的，把你认为“对的选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1. 设则(A) (B)(C) (D
2、)在点x=0处不可导. 【B】2.设，都是区间上恒大于零的可导函数，且则当时，必有(A) (B)(C) (D)【A】3.设则(A) (B) (C)0 (D)2 【D】4.以下积分的是 (A) (B)(C) (D) 【C】5.如图，半径不相等的两个木质球体，分别在中间钻出一个以球体直径为轴的圆柱形洞，使得剩下的两个环状立体A和B的高都等于h.通过计算，对的的结论是 (A) A的体积等于B的体积 (B)A的体积小于B的体积(C)A的体积大于B的体积 (D)不能判断，A与B体积的大小与球半径有关【A】三、设，。求极限解法1：=解法2：=四、求不定积分解：令，（），则=五、设是由方程拟定的隐函数.（1
3、）证明是单调增长的；（2）求.（1）证方程两端对x求导，得即由于所以是单调增长的.（2）解：由于是单调增长的，故当有上界时，（a为某常数）；当无上界时.假若，由于且广义积分收敛，令，由上式可得矛盾.因此，只有，从而得六、设曲线的参数方程为 (1)在曲线上哪些点处的切线与平面平行，并写出相应的切向量. (2)求(1)中两条切线之间的距离.(注意两个切线之间的距离指它们的公垂线段的长度.)解：（1）由曲线的参数方程，得到已知平面的法向量由题设即解得在曲线上得到两个点在此两点处的切线与平面平行，相应的切向量分别为（2）解法1 由（1）可得=(-12,0,-4)=-4(3,0,1), ,=于是，（1）
4、中两个切线之间的距离解法2：通过点作平行于已知平面的平面，其方程为显然，通过点的切线在平面上，通过点的切线平行于平面，故两切线之间的距离就是点到平面的距离，即七、设是区间上具有二阶导数的非负函数，且若证明证明：令则且=再求导由题设在区间上应用微分中值定理，存在使得又由于题设于是. 所以在区间单调增长，因此当时，有.由此又得到在区间单调增长，故,即八、求正数a的取值范围，使得曲线.解：曲线的充足必要条件是：存在使得，即也即a属于函数的值域. 由于所以只需规定出的最大值A，那么的值域就是令可得的唯一驻点就是x=e.当当时，因此，为在内的最大值.因此，曲线与直线相交的充足必要条件是，a必须要满足.九
5、、设曲面是由直线段绕z轴旋转而得.（1）试推导的直角坐标方程；（2）假如是与平面所围成的立体，其密度为求的质量.解：（1）设M是旋转而得，上的点相应于参数t，故而故的方程是即（2）空间区域其中因此，的质量=十、设有曲线：（n为正整数），为的长.证明（提醒：对于应用极限的夹逼准则.）解：如图，设曲线与x轴的交点为A，与直线的交点为，则点的坐标为曲线在点A到点间的曲线段的弧长记为.由对称性，只需证明在开区间内，求由方程所拟定的隐函数的导数，得由弧长计算公式=另一方面，又有=（）.于是由极限的夹逼准则，因此十一、计算曲线积分其中函数f（x）有连续导数，AB是有点到点的有向线段.解：令经计算故曲线积分与途径无关.因此，选择如下积分途径：先从点沿着平行于x轴的直线到点再从点沿着平行于y轴的直线到点.=. 令则因此：十二、设流速场求流体沿空间闭曲线的环流量=其中是由两个球面与的交线，从z轴的正向看去，为逆时针方向.解：由与得取为平面（上侧）被闭曲线所围成的圆的内部，因原点到平面的距离为故闭曲线是半径为的圆.的单位法向量为应用Stokes公式=
