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1、。由递推关系求通项公式的类型与方法递推公式是给出数列的基本方式之一，在近几年高考题中占着不小的比重。2008 年高考数学 19 份理科试卷，共19 道数列部分的解答题，其中有17 道涉及递推数列， （福建卷理科有两道题涉及数列问题，江苏卷、江西卷中数列题不涉及递推），说每卷都有数列问题，数列必出递推也不为过。不能不感受到高考数学试题中“递推” 之风的强劲。 为此本文主要以2008年试题为例重点研究由递推关系求数列通公式的类型与求解策略。一、递推关系形如： an 1anf (n) 的数列利用迭加或迭代法得：ana1f (1) f(2) Lf (n1) ，（ n2 ）例 1（ 08 天津文 20
2、）在数列 an 中，a11，a22 ，且 an 1(1 q)anqan 1（ n2, q 0 ）（）设 bn an 1 an （ nN *），证明 bn 是等比数列；（）求数列 an 的通项公式；（）略（）证明：由题设 an 1(1q)an qan 1 （ n 2 ），得an 1anq( anan 1) ，即 bnqbn 1 ， n 2 又 b1a2a11 ， q0 ，所以 bn 是首项为1 ，公比为 q 的等比数列（）解法：由（）a2a11 ， a3a2q ，ana1(a2a1 )(a3a2 ) L( anan 1) 1 1 q q2L q n 2 ，（ n2 ）11qn 1,q 1,所以当
3、 n2 时， an1q上式对 n1 显然成立n,q1.二、递推关系形如：an 1 anf (n) 的数列利用迭乘或迭代法可得：ana1 f (1) f (2) L f (n1) ，（ n 2 ）例 2 （ 2008天津理 22 ）在数列an 与 bn 中， a11, b14 ，数列 an的前 n 项和 Sn 满足 nSn 1n3 Sn0 , 2an1 为 bn 与 bn1 的等比中项， nN * .-可编辑修改 -。（）求 a2 , b2 的值；（）求数列 an 与 bn的通项公式；解：（）易得 a23 ， b29 （）由题设nSn 1( n 3) Sn（ n2 ）时(n 1)Sn( n 2)
4、 Sn 1式减去式，整理得 nan1 (n2)an ， 即 an 1n2， n2所以annn 3 时，ananan 1a3 a2n 1 nn 1 43n(n 1)an 1 an 2a2n 1 n 2 n 3 22此式对 n1,2也成立ann(n 1)2由题设有 bn1bn4an 12 ，所以 bn1bn(n2) 2 ( n 1)2，即(nbnbn11， nN * 1)2(n2)2令 xnbn，则 xn xn 11，即 xn11 得 xn1， n 1所以bn1，(n21由 x121)xn(n 1)即 bn(n1)2， n1三、递推关系形如：an 1panq （p,q为常数且 p1， q0）的数列
5、（线性递推关系）利 用 不 动 点 求 出 x px q的 根 xq， 递 推 关 系 可 化 为p1an 1qp(anq) ，利用等比数列求出anq的表达式，进而求出anp 1p 1p1例 3 （ 2008安徽文21 ）设数列an 满足 a1a,an 1can1c,cN * , 其中 a, c 为实数，且 c 0（ ）求数列 an 的通项公式解 ：Q an 1can 1 c, c N * ,an 1 1 c(an 1)当 a1 时， an1 是首项为 a1，公比为 c 的等比数列。 an 1(a 1)cn1，即 an (a1)cn 1 1 。当 a 1时， an1仍满足上式。-可编辑修改 -
6、。数列 a的通项公式为an(a 1)cn 11 (nN * ) 。n四、递推关系形如：an1pananb （ p ,a 为常数且 p 1, p0 ， a 0 ）的数列令 an 1x(n1)yp( anxny) 与 an 1pananb 比较解出系数x ，y 构造等比数列例4（ 08湖 北 理21 ） 已 知 数 列 an 和 bn 满 足a1, an 12annn21),34, bn ( 1) (an 3n为实数，n 为正整数，求数列其中 an 、 bn 的通项公式（稍加改编）解： Q an 12n 4,令 an 1 x(n 1) y2anan xn y , 整理后与式比较331 x1对应项系
7、数得3x 3, y 211 yx43a3(n1)212an3n21 ,n 132n 1an3n21（a13221)1833n 1,2n 1n 1an 3n2118, bn18233五、递推关系形如：an 1panqn 的数列（ p、q 为常数且 q0）常化为 an1p an1，利用第三种类型求出an后解出 an ；qn1q qnqqn例 5 （ 2008四川理20 ）设数列 an的前 n 项和为 Sn ，已知 ban 2nb 1 Sn（）证明：当b2时， ann 2n 1是等比数列；（）求 an的通项公式解：由题意知 a12 ，且ban2nb1 Snban 12n 1b 1 Sn 1-可编辑修改 -。两式相减得 b an 1an2nb1 an 1即 an1ban2n（）略（）当 b2 时，由（）知ann 2n12n 1，即 ann1 2n 1当 b2 时，由得 an1ban12n122n2因此 an 11b an1an1（1 ）bn 12n 1b 2 2 (2nb 2)2nb 21b 2( 2)得 a12n2 2b bn 1n 1n2b六、递推关系形如：an 1anpan1an （ p 为常数且 p0 ）的数列111的表达式，再求 an可化为an= p 求出an1an例 6 （ 20
