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1、量子力学常用积分公式(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) ()(8) (a0) (正偶数)(9) = (正奇数) ()(10) ()(11) ()(12) (13) (14) (15) (16) () ()第二章：函数与波动方程1 试用量子化条件,求谐振子的能量谐振子势能 (解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式:在量子化条件中,令为振子动量, 为振子坐标,设总能量E则 代入公式得: 量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅的四倍,要决定振幅,注意在A或B点动能为0,(1)改写为: (2)积分得:遍乘得乙法也是利用量子化条件,大积分变量用时
2、间而不用位移,按题意振动角频率为,直接写出位移,用的项表示:求微分: (4)求积分: (5)将(4)(5)代量子化条件:T是振动周期,T=,求出积分,得 正整数#2用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为 (解)三维问题,有三个独立量子化条件,可设想粒子有三个分运动,每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如),其余分动量不变,设想粒子从某一分运动完成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条件: (1) (2) (3)都是常数,总动量平方总能量是: =但 正整数.#3 平面转子的转动惯量为,求能量允许值.(解)解释题意:
3、平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角）决定,它的运动是一种刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量,但是角速度,能量是利用量子化条件,将理解成为角动量,理解成转角,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有 (1)(1) 说明是量子化的(2) (.) (2)(3) 代入能量公式,得能量量子化公式: (3)#4有一带电荷质量的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是,线速度是,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是: (1)又利用量子化条件,令电荷角动量 转角 (2)即 (3)由(1)(2)求得
4、电荷动能=再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能=,是电荷的旋转频率, ,代入前式得运动电荷的磁势能= (符号是正的)点电荷的总能量=动能+磁势能=E= ( )#5对高速运动的粒子(静质量)的能量和动量由下式给出: (1) (2)试根据哈密顿量 (3)及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:,本题中,因而 (4)从前式解出(用表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式. 其次求粒子速度和它的物质波的群速度间的关系.运用德氏的假设: 于(3)式右方, 又用
5、于(3)式左方,遍除:按照波包理论，波包群速度是角频率丢波数的一阶导数： =最后一式按照（4）式等于粒子速度，因而。又按一般的波动理论，波的相速度是由下式规定 （是频率）利用（5）式得知 （6）故相速度（物质波的）应当超过光速。最后找出和的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设：， （7）#6（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律 （2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理 认为则这将导得下述折射定律这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：仍就成立，E是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有，你怎样解
6、决矛盾？（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A到定点B的路径是两段直线：光程设A，B到界面距离是a,b(都是常量)有又AB沿界面的投影c也是常数，因而，存在约束条件： （2）求(1)的变分,而将,看作能独立变化的,有以下极值条件 (3)再求（2）的变分 (3)与(4)消去和得 (5)乙法见同一图,取为变分参数,取0为原点，则有: 求此式变分,令之为零,有： 这个式子从图中几何关系得知,就是(5).(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度应等于光波的群速度光程原理作,依前题相速,而,是折射率,是波前阵面更引起的,而波阵面速度则是相速度,这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.前
7、一非难是将光子的传播速度看作相速度的误解.#7当势能改变一常量C时,即,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否? (解)设原来的薛定谔方程式是 将方程式左边加减相等的量得: 这两个方程式从数学形式上来说完全相同,因此它们有相同的解,从能量本征值来说,后者比前者增加了C。#8设粒子势能的极小值是 (证)先求粒子在某一状态中的平均值能量其中动能平均值一定为正: = =用高斯定理: =中间一式的第一项是零,因为假定满足平方可积条件,因而因此 ,能让能量平均值 因此令(本征态)则而 得证#9设粒子在势场中运动 (1)证明其能量的平均值是: (1)其中W是能量密度 (2)证明能量守恒公式 (2)
8、其中 (能流密度)(证明)(1)三维粒子的能量算符是: (3)求在状态中的平均值 由于，将此式代入前一式：最末一式按高斯定理化为面积分若满足平方可积条件，则，S考虑为无限远处的界面。结果证得公式求式中能量密度W的时间偏导数，注意。一般都含时间，也是如此，因而： 粒子满足含时间薛定谔方程及其共轭方程式： 又设则有公式得证。10设N个粒子的哈密顿量为： 是它的任一态函数，定义： 求证： 证明按定义： 多粒子的体系的状态应当满足多粒子薛定谔方程式，写出这个方程式和其共轭方程式： （6a） (6b)将前二式等式右方的式子代替左方的，代进式 又待证的公式的等号左方第二项是： -将式两个求和合一，注意到的
9、项不存在，因而等值异号。11设与是薛定谔方程式两个解，证明与时间无关。证明试将此式对时间求偏导数，再利用，所满足的薛定谔方程式，有：因 最后一道等号是利用高斯定理将题给的体积分（）变换成（）的包围面S的面积分，若1，2满足平方可积条件 等，可使这面积分等于零。所以体积分是与时间无关的。#12 考虑单粒子的薛定谔方程式： V1，V2为实函数，证明粒子的几率不守恒。求出在空间体积内，粒子几率“丧失”或“增加”的速率。解：要证明几率不守恒，可以计算总几率的时间变化率，先考察空间一定体积中粒子出现的总几率，按Born假设，总几率是 求总几率的时间变化率 （1）再根据薛定谔方程式和其共轭方程式求出和，有
10、 （2）将（2）代入（1），化简后得 利用高斯定理将右方第一项变形： （3）如果粒子的运动范围是无限的，并且符合平方可积条件，则在无限远处，因而（3）式的面积分等于0。 （4）这证明总几率不守恒，因为。如果考察有限体积之内总几率的变化率，令：（3）式改写为： （5）是空间内粒子几率减少或增加的速度，右方是指的包围面S上几率流动的速度（流进或流出），右方指由虚数势能引起的，附加的几率变化速率，题目所指的是这一项。 13对于一维自由运动粒子，设求。 （解）题给条件太简单，可以假设一些合理的条件，既然是自由运动，可设粒子动量是，能量是E，为了能代表一种最普遍的一维自由运动，可以认为粒子的波函数是个波
11、包（许多平面波的叠加），其波函数： （1）这是一维波包的通用表示法，是一种福里哀变换，上式若令应有 （2）但按题意，此式等于。但我们知道一维函数一种表示是： （3）将（2）（3）二式比较：知道，并且求得，于是（1）成为 （4）这是符合初条件的波函数，但之间尚有约束条件（因为是自由粒子，总能量等于动能），代入（4） （5）将此式变形成高斯积分，容易得到所需结果： 利用积分 ： 写出共轭函数（前一式变号）： 本题也可以用Fresnel积分表示，为此可将（6）式积分改为：用课本公式得，两者相乘，可得相同的结果。# 14在非定域势中粒子的薛定谔方程式是： （1）求几率守恒对非定域势的要求。此时，只依赖于波函数在空间一点的几率波是否存在？ 解按题意，是要求写出几率守恒的条件，从这个条件寻出应当遵守的要求。几率守恒的条件是： 或 (2 )与13题类似，可写出1的共轭方程式： (3 )将1和3中的和想等同的式子代入到2式中去，就得到如下的条件：将前式等号左方第一项变成面积分高斯定理，第二项变成六重积分： (4 )前式等号左方第一项由于波函数平方可积条件（）可消去，因和形式相同,对易： （5）这积分
