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1、2009届全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编圆锥曲线1、已知椭圆C过点是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；（3）设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应点P的坐标。解：（1）设椭圆的方程为，由已知，得，解得所以椭圆的标准方程为（2）证明：设。由椭圆的标准方程为，可知同理4分，5分当时，由，得从而有设线段的中点为，由6分得线段的中垂线方程为7分，该直线恒过一定点8分当时，或线段的中垂线是轴，也过点，线段的中垂线过点（3）由，得。又，时，点的坐标为2、如图，在
2、直角坐标系中，已知椭圆的离心率e，左右两个焦分别为过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交M、N两点，且|MN|=1 () 求椭圆的方程；() 设椭圆的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足，（）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆上. 解：()轴，,由椭圆的定义得： （2分）， （4分）又得 ， 所求椭圆C的方程为 ()由（）知点A(2,0)，点B为（0，1），设点P的坐标为则，,由4得，点P的轨迹方程为. 设点B关于P的轨迹的对称点为，则由轴对称的性质可得：，解得：， 点在椭圆上， ，整理得解得或 点P的轨迹方程为或， 经检验和都符合题设，满足条件的点P的轨迹方程为或 （15分）3、
3、(上海市张堰中学高2009届第一学期期中考试)椭圆：的两个焦点为、，点在椭圆上，且，且，.（1）求椭圆的方程.（2）若直线过圆的圆心，交椭圆于、两点，且、关于点对称，求直线的方程.解：(1)又（2） 即4、在直角坐标平面内，已知点， 是平面内一动点，直线、斜率之积为. ()求动点的轨迹的方程；()过点作直线与轨迹交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.解: ()设点的坐标为，依题意，有 . 化简并整理，得.动点的轨迹的方程是. ()解法一：依题意，直线过点且斜率不为零，故可设其方程为, 6分由方程组 消去，并整理得 设,则 , (1)当时，； (2)当时,.且 . 综合(1)、(2)可
4、知直线的斜率的取值范围是：. 14分解法二：依题意，直线过点且斜率不为零.(1) 当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，； 6分(2) 当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为, (3) 由方程组 消去，并整理得 设,则 , .且 . 综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：.5、在直角坐标系xOy中，椭圆C1：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且MF2=（）求C1的方程；（）平面上的点N满足，直线lMN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程解：（）由：知设，在上，因为，所以，得，在上，且椭圆的半焦距，于是消去并整
5、理得 ， 解得（不合题意，舍去）故椭圆的方程为（）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，因为，所以与的斜率相同，故的斜率设的方程为由 消去并化简得 设，因为，所以 所以此时，故所求直线的方程为，或6、已知双曲线，P是其右支上任一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，Q是P F1上的点，N是F2Q上的一点。且有 求Q点的轨迹方程。7、已知在平面直角坐标系中，向量，且 .（1）设的取值范围；（2）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由，得 夹角的取值范围是（）（2） 当且仅当椭圆长轴故所求椭圆方程为.8、椭圆C的中心为坐标原点
6、O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且 （1）求椭圆方程；（2）若，求m的取值范围解：（1）设C：1（ab0），设c0，c2a2b2，由条件知ac，a1，bc，故C的方程为：y21 5（2）由，14，3或O点与P点重合= 7当O点与P点重合=时，m=0当3时，直线l与y轴相交，则斜率存在。设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k22）x22kmx（m21）0（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）0 （*）x1x2， x1x2 113 x13x2 消去x2，得3（x1x2
7、）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220 13m2时，上式不成立；m2时，k2，因3 k0 k20，1m 或 m1容易验证k22m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（1，）（，1）0 9、已知一动圆M,恒过点F，且总与直线相切,（）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（）探究在曲线C上,是否存在异于原点的两点,当时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.解: (1) 因为动圆M,过点F且与直线相切,所以圆心M到F的距离等于到直线的距离.所以,点M的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且,所以所求的轨迹方程为 (2) 假设存在A,B在上,所以,直线AB
8、的方程:,即 即AB的方程为:,即 即:，令,得，所以,无论为何值,直线AB过定点(4,0)10、(广东省佛山市三水中学2009届高三上学期期中考试)如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在轴上的截距为，l交椭圆于A、B两个不同点.（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）求证直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形. 解：（1）设椭圆方程为则椭圆方程 （2）直线l平行于OM，且在轴上的截距为m又l的方程为：由直线l与椭圆交于A、B两个不同点，m的取值范围是 （3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1k2=0即
9、可9分设可得而k1k2=0故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.11、(成都市2009届高三入学测试)已知椭圆的两个焦点、，直线是它的一条准线，、分别是椭圆的上、下两个顶点（）求椭圆的方程；（）设以原点为顶点，为焦点的抛物线为，若过点的直线与相交于不同、的两点、，求线段的中点的轨迹方程，令，消去参数，得到为所求轨迹方程解：（）设椭圆方程为=1(ab0)由题意，得c1，4 a2，从而b23椭圆的方程；（）设抛物线C的方程为x22py(p0)由2 p4抛物线方程为x28y设线段MN的中点Q(x,y)，直线l的方程为ykx1由得，（这里0恒成立），设M(x1,y1),N(x2,y2)由韦达定
10、理，得，所以中点坐标为Q，x4k,y4k21消去k得Q点轨迹方程为：x24(y1)12、如图，设F是椭圆的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：AFM=BFN； （3）（理科）求三角形ABF面积的最大值。解（1） （2）当AB的斜率为0时，显然满足题意当AB的斜率不为0时，设，AB方程为代入椭圆方程整理得则综上可知：恒有.（3）（理科）当且仅当（此时适合0的条件）取得等号.三角形ABF面积的最大值是313、已知圆方程为：.（）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程;（）过
11、圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.解（）当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为 满足题意 若直线不垂直于轴，设其方程为，即 设圆心到此直线的距离为，则，得 ， 故所求直线方程为 综上所述，所求直线为或 （）设点的坐标为（），点坐标为则点坐标是 ， 即， 又， 点的轨迹方程是， 轨迹是一个焦点在轴上的椭圆，除去短轴端点。 12分14、若为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线左支上，点在右准线上，且满足：. (1)求此双曲线的离心率； (2)若此双曲线过点，且其虚轴端点分别为(在轴正半轴上)，点在双曲线上，且当时，求直线的方程.解：(I)由，知四边形PF，OM为平行四边形，又OP为F1OM的角平分线.则PF1OM为菱形.即(II)由e2有：，双曲线方程可设为，又点N(2，)在双曲线上，双曲线方程为从而B1(0，3)，B2(0，3).共线.设AB的方程为：ykx3且设由， 又：，由得：.15、设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且. 求椭圆C的离心率；若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程.解：设Q（x0，0），由F（c，0）A（0，
