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1、第三节 公理化及其价值现代数学的多数分支的建构是受到公理化思想影响的，或者是按照公理化思想完成的。因此，公理化作为推动数学发展的重要数学思想方法，有助于反映数学对科学发展、社会发展和人类思想发展的作用，有助于学生认识数学的科学价值、应用价值和文化价值。 数学是人类社会进步的产物，是推动社会发展的动力，也是人类文化的重要组成部分。通过数学文化的学习，学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。 学生通过数学文化的
2、学习，了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律；了解人类从数学的角度认识客观世界的过程；发展求知、求实、勇于探索的情感和态度；体会数学的系统性、严密性、应用的广泛性，了解数学真理的相对性；就能够提高学习数学的兴趣。一、公理化 公理化便是数学文化重要的一部分。欧几里得几何原本是成功运用公理化方法的典范。继欧几里得几何原本之后，公理化方法广泛运用于自然科学、社会科学领域。例如，牛顿的经典力学体系就是用公理化方法建构的，马克思的资本论、杰弗逊的独立宣言等也受到了公理化方法的影响。计算机是数学思想的产物，计算机技术的发展与数学的发展密不可分，计算机技术为数学的应用提供了新的研
3、究工具和研究方法，大大拓宽了数学的应用领域。计算机在数学研究中的作用日益显现。计算机在自动推理领域和数学证明中的运用就是例证。 公理化方法从五个公设和九条公理出发，运用演绎方法将当时所知道的几何学知识全部推导出来。这是一个十分伟大的成就。它的意义不仅限于数学，而成为展示人类智慧和认识能力的一个光辉典范。几何原本的公理按现代观点来看是不够严格的。希尔伯特在1899年出版的几何基础将它完全地严格化，也就是做到公理系的三性：1独立性，即各条公理相互独立，不能由一条推出另外一条。2无矛盾性，即各条公理之间没有矛盾，从一条公理推出的结果不能与另一条公理矛盾。3完备性，即通过它能推导出该学科已有的全部重要
4、命题，不能随便省略公理。 这种对某门学科进行公理化的方法，是人们追求的目标。理论力学、牛顿力学、量子力学都有公理化的工作出现。至于数学领域内，几何学公理，算术公理和集合论公理是研究最深刻的。 几何公理由于对第五公设的研究出现了非欧几何，使公理方法大放异彩，成为人类理想的一大胜利。 算术公理业已成功地建立。但是歌德尔证明算术公理系统不是完备的，这给人们以很大的打击。这意味着，在算术系统中，存在一个命题，该命题及其否定在该系统中都不能证明。 集合论公理的研究，涉及数学基础。为了排除集合论悖论，Zelmero，Frankel先后建立公理来排除悖论，即现称ZF公理系统。围绕选择公理是否成立，展开了新一
5、轮研究。结果是ZF公理系和选择公理互相独立又不矛盾，正如平行公理与绝对几何公理系一样。这表明，整个数学的基础并非绝对稳固。 这些为整个学科，甚至整个数学提供基础的公理化运动，现在已经冷落下来了，这主要是因为困难。例如还没有出现微积分公理，微分几何公理，整个代数学的公理等等。因为还没有出现很恰如其分的概括，也许这也没有很大的必要。 公理化思想有两个基本特征：第一，它强调严密的逻辑性，分析推理过程必须符合形式逻辑；第二，它通过逐层的演绎过程，把作为推理出发点的、尽可能少且不能再由别的命题来证明的命题作为本体系的公理。二、公理化的意义与价值 公理化的意义表现在三个方面：首先，它把数学带入了严密阶段。
6、数学的严密性是通过各个分支的公理化来完成的。数学的许多分支都用公理方法建立它们的体系，数学分支只有用公理方法叙述之后，它才被人们完全接受。 其次，它把逻辑的严密赋予了某些自然科学领域。除了数学以外，物理学比其他经验科学有更好的理论严密传统，许多物理理论均是公理体系。 最后，公理化体现了人类认识的主观能动性。在一定的条件下，人们在实践的基础上能得到超越当时实际的理论，并在这理论的指导下去进一步认识和改造世界。 公理化思想的教育价值体现在两个方面：第一，对它的学习与掌握，有利于学生严密、精细思维方式的形成。第二，它使数学形成后述还原思想、结构思想和模型思想成为可能。因为还原必须以公理化的逻辑推理为
7、方法，而数学知识的结构往往实际上就是某种逻辑结构，此外数学模型又必须通过公理体系获得可信性及各模型之间的通约性。因此，公理化思想能帮助教师和学生实现对数学知识教与学的条理化和简化。布鲁纳指出：“为迁移而教”，又指出死知识并没有什么迁移价值，“概念和原理才有迁移价值”，数学的公理体系就是这种概念和原理。 值得注意的是，长期受传统“整体模糊直观”思维方式影响的中国人公理化思想缺乏，中国传统数学往往重实用的计算，没有形成抽象的符号、原理、逻辑（中国也没有发育出完整的、严密的逻辑学）、公式，更没有形成公理化数学体系。因此，对中国的教师与学生来说，更应重视数学公理化的基本思想及其运用。 在中小学数学教学
8、中，我们看到了一种扩大了的几何公理系统，它是不严格的。但是公理化作为一种思想方法有很重要的教育价值。公理化方法是中小学数学的逻辑基础。 对于原始概念，先行的中小学教材是没有明确提出来的，而是作为“公理”出现，即作为公认的事物出现。比如“点”，“线”，“面”，“相交”。还有一些定义的概念，也作为原始概念来看待，例如“用直尺把两点连结起来，就得到一条线段”，“线段向一方无限延伸就形成射线”，“线段向两方无限延伸，就形成直线”，这些都是直观描述而不是定义。 中小学数学中在处理公理问题上是采取扩大公理的办法，把一些原来在严格公理系统中可以证明的命题，也明确作为公理，在学生确信的基础上作为推理论证其他命
9、题的依据。按照大纲规定，把“两点确定一条直线”；“两点间线段最短”；“垂线的唯一性”；“点到线段的垂直线段最短”；“同位角相等，则两直线平行”；“三角形全等的三个判定”等作为公理，在公理这个术语出现之前叫做“基本性质”。这样处理虽然影响了公理的独立性的要求，按时从教学角度来说，对于开始学习几何的学生，不至于在开始学习就遇到困难。而且通过这样的学习，使学生基本能体会到公理化的方法。因而，在中小学数学教学中，适当渗透公理化方法及其对数学发展的作用，对于增进学生对数学的理解具有重要作用。 值得指出的是，高中数学课程标准在推理与证明部分设计了数学文化的内容，要求学生通过欧几里得几何原本、牛顿力学体系等实例，体会公理化思想，初步了解计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。
