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1、第四者 四边形性质探索（一）【知识体系】1平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形2平行四边形的性质( 1 ) 平行四边形的对边相等；( 2 ) 平行四边形的对角相等；( 3 ) 平行四边形的对角线互相平分。3平行线之间的距离及其特征( 1 ) 定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离( 2 ) 特征：平行线之间的距离处处相等； 夹在两条平行线之间的平行线段相等4平行四边形的面积( 1 )平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积拓展 如图，= ，由此可得到启示，利用面积关系可建立多条线段之间的关系( 2 )同底(等底
2、)同高(等高)的平行四边形面积相等 5平行四边形的判定方法( 1 )两组对边分别平行的四边形是平行四边形；( 2 )两组对边分别相等的四边形是平行四边形；( 3 )一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；( 4 )两组对角分别相等的四边形是平行四边形；( 5 )对角线互相平分的四边形是平行四边形；6平行四边形判定方法的选择平行四边形的判定方法有五种，在选择方法时应根据具体条件而定，怎样才能做到合理选择、“对症下药”呢？阅读下表，便一目了然项目条件已知条件选择判别的方法边一组对边平行方法( 1 )或( 3 )边一组对角相等方法( 2 )或( 3 )角对角相等方法( 4 )对角线对角线互相平分方法
3、( 5 )7平行四边形的作图题常见的平行四边形的作图题有一下几种：( 1 )已知两邻边和夹角作平行四边形；( 2 )已知一边、一条对角线及它们的夹角作平行四边形；( 3 )已知两邻边和一条对角线作平行四边形；( 4 )已知一边和两条对角线作平行四边形；( 5 )已知一边和一个内角以及过这个角顶点的一条对角线注意 ( 1 )作图前先要画草图，然后根据草图决定先画什么后画什么； ( 2 )平行四边形的作图基本上都是先画三角形，再补成平行四边形，这也体现了将四边形问题化归成三角形问题的思想方法【题型体系】题型一、平行四边形性质的应用例1、如图，在平行四边形中，=110，延长 至，延长至,连结，则(
4、1 ) += ( )A 、110 B . 30 C . 50 D . 70( 2 )从平行四边形的一个锐角顶点向对边作两条高线，如果这两条高线的夹角为135，则这个平行四边形的内角的度数为 例2、如图，平行四边形的周长为50 cm ，对角线、相交于点，且的周长比的周长多7 cm ，求这个平行四边形的各边长例3、如图，平行四边形中，的垂直平分线交于，则的周长是（ ）A6B8C9D10例4、 如图，在平行四边形中，过对角线的中点的直线交、的延长线于、试问：与的大小关系如何？请证明你的结论课堂训练1、平行四边形的周长为20，一条对角线把它分成的两个三角形的周长都是18，则这条对角线长为 2、如图，平
5、行四边形中，平分,=100，则等于 ( )A 、100 B 、80 C 、60 D 、40 3、如图，点是平行四边形内任一点，若=8，则图中阴影部分的面积为( )A 、5 B 、 4 C 、 3 D、以上都不对4、如图，已知四边形是平行四边形，、分别是、的中点，、分别交于、( 1 )写出图中三对你认为全等的三角形；( 2 )选择其中一对全等三角形进行证明5、如图，在平行四边形中，为的中点，的延长线交的延长线于点( 1 )求证=；( 2 )若使=,平行四边形的边长之间还需要再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并进行证明(不要再增添辅助线)。题型二、平行四边形的判定例5、如图，、是四边形对角线，
6、上的两点，=,=，求证：四边形的平行四边形例6、如图，、是平行四边形对角线所在直线上两点，且=求证：四边形是平行四边形 课堂训练1已知：四边形的四个内角之比为3：2：3：2，则这个四边形是 2已知一个四边形的边长依次分别是、，且+=+，则此四边形为 3如图，在平行四边形中，、相交与点，、分别在、上，且=，又= ，所以 是平行四边形，理由是 4、图，、是平行四边形对角线上的两点，请你添加一个适当的条件： ，使四边形是平行四边形题型三、平行四边形的性质与判定的综合应用 例7、如图，点、分别在平行四边形的边、上，且=，垂足为、试说明与相互平分的理由例8、如图，在平行四边形中，=60，、分别是、的中点
7、，=求证：=课堂训练1、如图，在平行四边形的对角线的延长线上取两点、，使=。( 1 )四边形 的平行四边形吗？为什么？( 2 ) 如果=7,，则等于多少厘米？2如图，在中，=，是的中点，在上，延长到，使=，连结试判断四边形的形状，并说明理由3、已知，如图，、相交于点，=，、分别是、中点。求证：四边形是平行四边形。题型四、平行四边形的作图例9、已知：点、(不在同一直线上)求作：以、为顶点的平行四边形 难点讲析：1、动点问题例10、如图，在平行四边形中， =4，=60，一动点从出发以每秒1的速度沿的路线匀速运动，过点作直线,使于点( 1 )当点运动2秒时，设直线与相交于点，求的面积；( 2 )当点
8、运动2秒时，另一动点也从出发沿的路线运动，且在上以每秒1的速度匀速运动在上以每秒2的速度匀速运动过作直线，使设点运动的时间为秒(010)，直线与截平行四边形所得图形的面积为，试用的代数式表示2、条件开放题ABCD例11、如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形是平行四边形，并予以证明（写出一种即可）关系：，已知：在四边形中，；求证：四边形是平行四边形3、阅读探究题例12、问题背景（1）如图1，ABC中，DEBC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EFAB交BC于点F请按图示数据填空：四边形DBFE的面积 ，EFC的面积 ，ADE的面积 探究发现（2）在（1）中，若，D
9、E与BC间的距离为请证明拓展迁移（3）如图2，DEFG的四个顶点在ABC的三边上，若ADG、DBE、GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求ABC的面积 课后作业1、如图，在中，=6，点、分别在、上，四边形为平行四边形，=，平行四边形的周长是 2、已知平行四边形两邻边的比为4：9，周长是78 cm，则该平行四边形的一组邻边长分别为 cm和 cm3、如图所示，平行四边形 ABCD中，AB = 5，AD = 8，A、D的平分线分别交BC于点E、F，则EF = 4、下列条件中，能推出一个四边形是平行四边形的是 ( )A一组对边平行，另一组对边相等 B一组对边平行，一组对角相等C一组对角相
10、等，一组对边相等 D一组对边平行，一组对角互补5、如图，在平行四边形中，=，点、分别是、的中点。求证：=6、如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE交BD于G，AF交BD于H，四边形EHFG是平行四边形吗？为什么？ 7、如图，点E、F、G分别 是ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点求证：BEFDGH8、如图，平行四边形中，平分，平分，那么与互相平分吗？请说明理由 9、如图，已知四边形中，1 =2 = 30，3 = 4 = 38，求证：四边形是平行四边形10、如图，在四边形中，=，=，、是对角线上两点，且=，那么=成立吗？为什么？ABCDEF11、如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF，请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？对你的猜想加以证明。 猜想： 证明：12、如图，四边形ABCD是平行四边形，ABC和ABC关于AC所在的直线对称，AD和BC相交于点O连结BB.（1） 请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；（2） 求证：A BOCDO. 1
