《高中数学人教A版必修四教学案：2.5 平面向量应用举例 含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A版必修四教学案：2.5 平面向量应用举例 含答案（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019版数学精品资料（人教版）第1课时平面向量数量积的物理背景及其含义 核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P103P105的内容，回答下列问题观察教材P103图2.41和图2.42，思考：(1)如何计算力F所做的功？提示：W|F|s|cos_.(2)力F在位移方向上的分力是多少？提示：|F|cos_.(3)力做功的大小与哪些量有关？提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关2归纳总结，核心必记(1)向量的数量积的定义已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为定义数量|a|b|cos_叫做a与b的数量积(或内积)记法ab|a|b|cos_规定零向量与任一向量的数量积为0
2、(2)向量的数量积的几何意义投影的概念：()向量b在a的方向上的投影为|b|cos_()向量a在b的方向上的投影为|a|cos_数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_的乘积(3)向量数量积的性质设a与b都是非零向量，为a与b的夹角abab0当a与b同向时，ab|a|b|，当a与b反向时，ab|a|b|aa|a|2或|a|.cos .|ab|a|b|.(4)向量数量积的运算律abba(交换律)(a)b(ab)a(b)(结合律)(ab)cacbc(分配律)问题思考(1)向量的数量积与数乘向量的区别是什么？提示：平面向量的数量积是关于两个向量间的运算，其运
3、算结果是一个实数，这个实数的符号由两向量夹角的余弦值来确定向量的数乘是实数与向量间的运算，其结果是一个向量，这个向量与原向量是共线向量(2)数量积ab与实数乘法ab的区别是什么？提示：在实数中，若a0，且ab0，则b0，但在数量积中，若a0且ab0，不一定能推出b0，这是因为|b|cos_有可能为0，即ab.在实数中|ab|a|b|，但在向量中|ab|a|b|(3)ab与ab0等价吗？提示：当a与b为非零向量时，两者等价；当其中一个为零向量时，两者不等价(4)ab0，则a，b是钝角吗？提示：ab|a|b|cosa，b0，cosa，b0，a，b是钝角或180.(5)ab中的“”能省略不写吗？提示
4、：不能省略，也不能换成其它符号，a与b的数量积又称a与b的点乘(6)对于向量a，b，c，等式(ab)ca(bc)一定成立吗？提示：不一定成立，若(ab)c0，其方向与c相同或相反，而a(bc)0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立课前反思(1)向量数量积的定义：；(2)向量数量积的几何意义：；(3)向量数量积的性质：；(4)向量数量积的运算律：.思考1要求ab，需要知道哪些量？名师指津：要求ab，需要知道|a|、|b|、cos_思考2你认为，求平面向量数量积的步骤是什么？名师指津：求平面向量数量积的步骤为：(1)求a与b的夹角 ，0，；(2)求|a|和|b|；(3
5、)代入公式求ab的值讲一讲1(1)已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求：ab；(ab)(a2b)(2)设正三角形ABC的边长为，求abbcca.尝试解答(1)由已知得ab|a|b|cos 42cos 1204.(ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412.(2)|a|b|c|，且a与b、b与c、c与a的夹角均为120，abbccacos 12033.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算练一练1已知正方形ABCD的
6、边长为2，分别求：思考如何求向量的模|a|?提示：|a|讲一讲2(1)已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|1，则|a3b|_(2)已知向量a与b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_尝试解答(1)因为ab0，|a|1，|b|1，所以|a3b|.(2)因为|2ab|，所以(2ab)210，所以4a24abb210，又因为向量a与b的夹角为45且|a|1，所以41241|b|b|210，整理得|b|22|b|60，解得|b|或|b|3(舍去)答案：(1)(2)向量模的常见求法在求向量的模时，直接运用公式|a|，但计算两向量的和与差的长度用|ab|.练一练2(1)已知非零向量a2b2c
7、，|b|c|1，若a与b的夹角为，则|a|_；(2)已知向量a、b满足|a|2，|b|3，|ab|4，则|ab|_解析：(1)由于cab，所以c2|a|2|b|22|a|b|，整理得|a|22|a|0，所以|a|2或|a|0(舍去)(2)由已知，|ab|4，|ab|242，a22abb216.(*)|a|2，|b|3，a2|a|24，b2|b|29，代入(*)式得42ab916，即2ab3.又|ab|2(ab)2a22abb243910，|ab|答案：(1)2(2)思考1如何求a与b的夹角？名师指津：利用cos_求出cos_的值，然后借助0，求.思考2两非零向量a与b垂直的充要条件是什么？名师
8、指津：两非零向量a与b垂直的充要条件是ab0.讲一讲3(1)已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_(2)已知非零向量a，b满足a3b与7a5b互相垂直，a4b与7a2b互相垂直，求a与b的夹角尝试解答(1)设a与b的夹角为，依题意有：(a2b)(ab)a2ab2b272cos 6，所以cos ，因为0，故.(2)由已知条件得即得23b246ab0，2abb2，代入得a2b2，|a|b|，cos .0，.答案：(1)求向量a，b的夹角的思路(1)求向量的夹角的关键是计算ab及|a|b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos ，最后借助0，求出值(2
9、)在个别含有|a|，|b|与ab的等量关系式中，常利用消元思想计算cos 的值练一练3已知|a|3，|b|2，向量a，b的夹角为60，c3a5b，dma3b，求当m为何值时，c与d垂直？解：由已知得ab32cos 603.由cd，得cd0，即cd(3a5b)(ma3b)3ma2(5m9)ab15b227m3(5m9)6042m870，m，即m时，c与d垂直课堂归纳感悟提升1本节课的重点是向量数量积的定义、几何意义以及向量数量积的性质、运算律，难点是向量数量积的几何意义2要掌握与数量积相关的三个问题(1)数量积的计算，见讲1；(2)向量的模的计算，见讲2；(3)向量的夹角及垂直问题，见讲3.3要
10、注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从ab0推出a0或b0.实际上由ab0可推出以下四种结论：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab.(2)在实数运算中，若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立这是因为|ab|a|b|cos |，而|cos |1.(3)实数运算满足消去律：若bcca，c0，则有ba.在向量数量积的运算中，若abac(a0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由abac(a0)不能得到bc.(4)实数运算满足乘法结合律，
11、但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线课下能力提升(十九)学业水平达标练题组1向量数量积的运算1下列命题：(1)若a0，abac，则bc；(2)(ab)ca(bc)对任意向量a，b，c都成立；(3)对任一向量a，有a2|a|2.其中正确的有()A0个 B1个 C2个 D3个解析：选B(1)(2)不正确，(3)正确2已知|b|3，a在b方向上的投影是，则ab为()A. B3 C2 D.解析：选A|a|cosa，b，|b|3，ab|a|b|cosa，b3.A. B. C
12、D题组2向量的模5若非零向量a与b的夹角为，|b|4，(a2b)(ab)32，则向量a的模为()A2 B4 C6 D12解析：选A由已知得，a2ab2b232，|a|2|a|4cos24232.解得|a|2或|a|0(舍)6已知向量a，b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5ab|_解析：|5ab| 7.答案：77已知非零向量a，b，满足ab，且a2b与a2b的夹角为120，则_解析：(a2b)(a2b)a24b2，ab，|a2b|，|a2b|.故cos 120，得，即.答案：题组3两向量的夹角与垂直问题8若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a与b的夹角为()A30 B60
