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1、直线的倾斜角和斜率教学设计 宁乡四中 唐仕美一、教学内容和内容解析内容：直线倾斜角的概念，直线斜率的概念，直线的斜率公式及简单应用。内容解析：本课是人教版数学必修2第三章第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解坐标平面内几何要素如何代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。直线倾斜角是描
2、述直线倾斜程度的几何要素，课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出的；当直线与x轴相交时，取x轴作基准，x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。其中“x轴正向”“直线向上方向”是该概念的“关键词”。直线的斜率是表示直线倾斜程度的代数表示，课本借助生活中坡度问题引出直线斜率的概念：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。定义本身给出了一条直线的斜率与倾斜角的关系。直线可由两点来确定，故直线的斜率就可以用直线上两点的坐标来表示，这就是经过两点直线的斜率公式，它构建了直线与点的代数表示关系。“坐标法”思想与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。教学重点：理解直线的倾斜角和
3、斜率概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。二教学目标和目标解析目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，并通过动画演示理解它们之间的关系；掌握过两点的直线的斜率公式。目标解析：1在平面直角坐标系中，结合具体的图形，探索确定直线位置的几何要素，引出直线倾斜角的概念。结合动画演示，明确倾斜角的取值范围。2.从实际生活中的坡度问题，引出数学中直线的斜率的概念，让学生体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识。3.能根据斜率的概念，掌握倾斜角和斜率之间的关系，并能根据斜率的两个计算公式，求出直线的斜率。4初步了解坐标平面内的图形是如何进行量化和代数化的
4、，了解解析几何的“坐标法”思想和基本研究方法。三教学问题诊断分析1两点确定一条直线，这是学生知道的，但就已知一点再需要增加什么量才能确定直线，以及如何来刻画这个量，对学生来说有点困难，所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的直线之间的不同点，再类比实际生活中我们描述航线的实际例子，从而发现需要增加的量，以及如何描述这个量，最后形成倾斜角的概念。2在通过日常生活的例子，引入斜率的概念时，教学中可充分利用学生已有的知识（坡度概念），引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念。因为在这节课里学生是初步接触坐标法，所以在教学过程中引导学生体会如何从形
5、转化到数的过程，知道倾斜角和斜率可以同时刻画直线的倾斜程度。3在学习完倾斜角、斜率的概念，以及倾斜角和斜率之间的关系后，再来探究已知两点求直线的斜率公式时，学生不会觉得困难，在这里的教学过程中，可以引导学生对直线四种位置关系及P1，P2两点位置顺序的讨论，渗透分类讨论的思想。本节课的教学难点：直线的斜率和倾斜角之间的关系。四教学条件支持为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和联系现实生活中的模型，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性。五教学过程设计（一）引入几何图形中最简单的图形是什么？ 点在坐标系中如何表示？直线在坐标系中又该怎么表示
6、呢？P1P2xyo图1设计意图：从点在坐标系下的表示，联想到直线在坐标系下该如何表示？从而引出本堂课要讨论的内容。（二）创设情景请同学到黑板上来画出已知条件的直线。（1）已知两点（2）已知一点xyoP1图2设计意图：通过自己实践，体会已学的确定直线的条件，并激发学生的学习兴趣，主动探究确定直线另外的条件。师生活动1：请两位同学上黑板画图，引导发现在已知两点时直线唯一，而在已知一点时直线可以画无数条。（三）探究新知1倾斜角的概念问题1：对于平面直角坐标系内的一直线l，你认为它的位置由哪些条件确定？设计意图：基于学生已有的知识认知, 寻找新知识的“生长点”,探索确定直线位置的几何要素。师生活动1：
7、通过对已有知识回忆，引导学生发现两点确定一条直线，一点不能确定直线，由此启发学生已知一点时需要增加另外的条件才能确定直线，比如，再增加一点或找到直线的方向。xl1l2Oy图3问题2：两点可以确定一条直线，直线上一点和直线的方向也能确定一条直线，那么如何描述直线的方向（倾斜程度）呢？设计意图：总结确定直线的条件，使学生明确一点一方向也能确定直线的位置，关键是如何描述直线的方向。师生活动2：引导学生把重点放在“如何描述直线的方向”的问题上。启发学生发现可以用直线与x轴的夹角来描述直线的倾斜程度，从而促成概念的形成。直线倾斜角的概念：当直线与x轴相交时，取x轴为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成
8、的角叫做直线l的倾斜角。问题3：依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？设计意图：让学生明确倾斜角的取值范围是001800。师生活动3：通过多媒体课件的演示，学生回答倾斜角的范围。问题4：在直角坐标系中，当直线上一点和这条直线的倾斜角确定时，直线位置就确定了吗？由此可以得出什么结论？设计意图：引导学生通过讨论倾斜角的范围，明确每一条直线都有确定的倾斜角，知道倾斜角用来刻画直线的倾斜程度的合理性，从而理解确定一条直线位置的几何要素是：直线上的一个点以及它的方向即倾斜角，两者缺一不可。师生活动3：通过多媒体课件的演示，引导学生明确每条直线都有倾斜角，在已知一点和一个倾斜角的情况下，唯一确定一条直线。2
9、斜率的概念引导性语言：我们知道，直角坐标系中，点的坐标是点这个几何要素的代数表示，那么如何给出刻画直线倾斜程度的代数表示呢？设计意图：告知目标，明确思维的方向：怎样用代数的方法把几何要素表示出来。问题5：在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？设计意图：把学习到的知识类比实际生活中的问题，可以让学生体会数学是来源于实际生活，而且可以解决实际生活中的问题的，是与我们的生活息息相关的。同时可以通过与坡度问题的类比，得到刻画直线倾斜程度的代数方法。师生活动4：引导学生在生活中举例，比如，山坡，楼梯等，教师补充比如在游乐场里的水滑梯，大桥的引桥都有一个坡度。问题6：观察图示4，5，6，思考坡的
10、陡峭程度与哪些量有关? 能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？设计意图：观察得出坡度的大小与升高量和前进量的变化有关。师生活动4：从实际图片中抽象出几何图形，又把几何图形坐标化，然后利用多媒体课件演示升高量和前进量的变化引起坡度改变的过程。再引导学生得出坡度的计算方法。最后通过类比，引导学生把坡度这个同样用来刻画直线倾斜程度的量与倾斜角联系起来，从而引入“斜率”这一概念。yxCDAB图5yxBADC图4yxo图6斜率的概念我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写的k表示，即k=tan。问题7：依斜率的定义，是否每条直线都有斜率？倾斜角变化时，斜率是如何变化的？设计意图
11、：能根据斜率的定义式，发现斜率是关于倾斜角的函数，从而能根据三角函数的图象来进一步的分析倾斜角与斜率之间的关系。ok图7师生活动：引导学生发现斜率是关于倾斜角的正切函数，因此结合三角函数图象变化的演示过程，学生总结出斜率与倾斜角之间的变化关系。引导学生发现不是所有直线都有斜率。3两点式斜率公式问题8：两点可以确定一条直线，那么直线的斜率怎样用直线上两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)的坐标来表示呢？设计意图：能根据直线上两点坐标推出斜率公式。OP1P2yxQ图9OP1P2yxQ图8师生活动5：教师给出直线上两点的坐标，请两位同学到黑板上板演，其余同学在下面上完成；学生根据斜率的定义
12、，通过构造直角三角形推算出斜率公式。师生共同评析。两点式斜率公式k=问题9：当直线与坐标轴平行或重合时,上述式子还成立吗?OP1P2yx图11OP1P2yx图10设计意图：通过自己的探索，完善两点式斜率公式k=（x1x2），检验得到公式与P1，P2两点的顺序无关。通过对直线四种位置关系及P1，P2两点位置顺序的讨论，体会分类讨论的思想，并感知数学是严谨的，是清楚的。师生活动6：总结两点式斜率计算公式：k=（x1x2）。（四）应用举例例1.如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。设计意图：直接利用斜率定义式求解
13、，熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系。ok图13OyxBAC图12师生活动7：学生动笔计算出答案，教师引导学生可以结合倾斜角和斜率的函数关系图，分析倾斜角和斜率的关系。变式1.直线的斜率为k，倾斜角为，若，则k的范围是（ ）A.（-1，1） B.（-，-1）（1，+）C.-1，1 D. （-，-11，+）设计意图：根据斜率的定义式，结合图象，熟悉倾斜角和斜率的关系。例2.在平面直角坐标系中，画出经过A（3，2）且斜率分别为0，不存在，2和-2的直线。 设计意图：要求学生画图，体验数形结合的思想方法。熟练应用两点式斜率公式。师生活动8：引导学生根据已知条件分析解决方法，因为直线过A（3，
14、2），所以只要再找出另外一点直线就可以确定了。在推导斜率公式时，学生已经知道，斜率k的值与直线上的点位置无关，因此，由已知直线的斜率画直线时，可以再找一个特殊点。（五）课堂小结（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？他们之间有什么关系？（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？（3）从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜率（数）也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数学思想？两 点一点一方向直 线倾斜角斜 率设计意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括。师生活动9：让学生归纳出刻画直线倾斜程度的两种方法：倾斜角（形）和斜率（数）。利用确定直线的两种方法，归纳出求斜率的两个计算公式。在倾斜角和斜率相互转化的过程中体现了数形结合的数学思想。强调“坐标法”是解决解析几何问题的基本方法。
