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1、第 25 页 共 25 页1、在极坐标系下,已知圆O:cos sin 和直线l:sin(0,02)(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;(2)当(0,)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标解:(1)圆O:cos sin ,即2cos sin ,故圆O的直角坐标方程为x2y2xy0,直线l:sin,即sin cos 1,则直线l的直角坐标方程为xy10.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程,将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1),将(0,1)转化为极坐标为即为所求2、已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2,22cos2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标
2、方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解:(1)由2知24,所以圆O1的直角坐标方程为x2y24.因为22cos2,所以222,所以圆O2的直角坐标方程为x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1,即sin.3、(2017全国卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值解:(1)设P
3、的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10)由题设知|OP|,|OM|1.由|OM|OP|16,得C2的极坐标方程4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B,)(B0),由题设知|OA|2,B4cos ,于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 22.当时,S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.4、(2015全国卷)在直角坐标系xOy中,直线C1:x2,圆C2:(x1)2(y2)21,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为(R),设C2与C3的交点为M
4、,N,求C2MN的面积解:(1)因为xcos ,ysin ,所以C1的极坐标方程为cos 2,C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40,得2340,解得12,2.故12,即|MN|.由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为.5(2016全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a0)在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:4cos .(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为0,其中0满足tan 02,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.解:(1)消去参数t得到
5、C1的普通方程为x2(y1)2a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆将xcos ,ysin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组若0,由方程组得16cos28sin cos 1a20,由已知tan 2,可得16cos28sin cos 0,从而1a20,解得a1(舍去)或a1.当a1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上所以a1.6(2018洛阳模拟)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2(y2)24.以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆C的极坐标方程;(2)直线l的极坐标方程是2sin5
6、,射 线OM:与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长解:(1)将xcos ,ysin 代入x2(y2)24,得圆C的极坐标方程为4sin .(2)设P(1,1),则由解得12,1.设Q(2,2),则由解得25,2.所以|PQ|213.7在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点(1)求C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程解:(1)由cos1得1.从而C的直角坐标方程为xy1,即xy2.当0时,2,所以M(2,0)当时,所以N.(2)由(1)知M点的
7、直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为.所以P点的直角坐标为,则P点的极坐标为,所以直线OP的极坐标方程为(R)8(2018福建质检)在直角坐标系xOy中,曲线C1的普通方程为(x2)2y24,在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:2sin ,曲线C3:(0),A(2,0)(1)把C1的普通方程化为极坐标方程;(2)设C3分别交C1,C2于点P,Q,求APQ的面积解:(1)因为C1的普通方程为(x2)2y24,即x2y24x0,所以C1的极坐标方程为24cos 0,即4cos .(2)依题意,设点P,Q的极坐标分别为,.将代入4cos ,得12,将代入2sin ,得21
8、,所以|PQ|12|21.依题意,点A(2,0)到曲线(0)的距离d|OA|sin 1,所以SAPQ|PQ|d(21)1.9(2018贵州适应性考试)在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C1的极坐标方程为4cos ,曲线C2的极坐标方程为cos2sin .(1)求曲线C2的直角坐标方程;(2)过原点且倾斜角为的射线l与曲线C1,C2分别相交于A,B两点(A,B异于原点),求|OA|OB|的取值范围解:(1)由曲线C2的极坐标方程为cos2sin ,两边同乘以,得2cos2sin ,故曲线C2的直角坐标方程为x2y.(2)射线l的极坐标方程为,把射线l的极坐标方程代入曲线C1
9、的极坐标方程得|OA|4cos ,把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得|OB|,|OA|OB|4cos 4tan .,|OA|OB|的取值范围是.(1)过点M(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)(2)圆心在点M0(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为(为参数)(3)椭圆1(ab0)的参数方程为 (为参数)(4)双曲线1(a0,b0)的参数方程为 (为参数)10、(2017全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.解:(1)曲线C的普通方程为
10、y21.当a1时,直线l的普通方程为x4y30,由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0),.(2)直线l的普通方程为x4ya40,故C上的点(3cos ,sin )到l的距离为d.当a4时,d的最大值为 .由题设得,解得a8;当a4时,d的最大值为.由题设得,解得a16.综上,a8或a16.2结论要记根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义,有如下常用结论:过定点M0的直线与圆锥曲线相交,交点为M1,M2,所对应的参数分别为t1,t2.(1)弦长l|t1t2|;(2)弦M1M2的中点t1t20;(3)|M0M1|M0M2|t1t2|.11(2018湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy中,设倾斜
11、角为的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C: (为参数)相交于不同的两点A,B.(1)若,求线段AB的中点的直角坐标;(2)若直线l的斜率为2,且过已知点P(3,0),求|PA|PB|的值解:(1)由曲线C: (为参数),可得曲线C的普通方程是x2y21.当时,直线l的参数方程为(t为参数),代入曲线C的普通方程,得t26t160,得t1t26,所以线段AB的中点对应的t3,故线段AB的中点的直角坐标为.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,化简得(cos2sin2)t26cos t80,则|PA|PB|t1t2|,由已知得tan 2,故|PA|PB|.12(2018石家庄质
12、检)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数),在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为cos.(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)设直线l与x轴,y轴分别交于A,B两点,点P是圆C上任意一点,求A,B两点的极坐标和PAB面积的最小值解:(1)由消去参数t,得(x5)2(y3)22,所以圆C的普通方程为(x5)2(y3)22.由cos,得cos sin 2,所以直线l的直角坐标方程为xy20.(2)直线l与x轴,y轴的交点分别为A(2,0),B(0,2),化为极坐标为A(2,),B,设点P的坐标为(5cos t,3sin t),则
13、点P到直线l的距离为d.所以dmin2,又|AB|2.所以PAB面积的最小值是S224.13、在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点P的极坐标为,曲线C的参数方程为(为参数)(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程;(2)若Q为曲线C上的动点,求PQ中点M到直线l:cos 2sin 10距离的最小值解:(1)由xcos ,ysin ,可得点P的直角坐标为(3,),由得x2(y)24,曲线C的直角坐标方程为x2(y)24.(2)直线l的普通方程为x2y10,曲线C的参数方程为(为参数),设Q(2cos ,2sin ),则M,故点M到直线l的距离d1,点M到直线l的距离的最小值为1.14、(2017全国卷)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(