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1、10.4排列与组合的综合问题一、 解题思路：解排列组合问题，要正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。科学分类法：对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局
2、部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列排列组合的综合问题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.二、 问题讨论例1(优化设计P178例1)、从6名短跑运动员中选4人参加4100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？解法一： 问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有种；（2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有2（）种；（3）甲、乙二人均参加，有（2）种，故共有252种解法二：六人中取四人参加的种数为，从6人中选4人的排列组合数减去甲跑第一棒时从剩余5人中
3、选3人的排列组合数,再减去乙跑第四棒时从剩余5人中选3人的排列组合数,再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒时从剩余4人中选2人的排列组合数252种【评述】对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种例2: 有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生(2)某女生一定要担任语文科代表(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表解：(1)先取后排,有种,后排有种,共有5400种(2)除去该女生后先取后排：种(3)先取后排,但先安排该男生：种(
4、4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有种,再安排该男生有种,其余3人全排有种,共=360种【思维点拨】特殊元素或特殊位置首先考虑例3(优化设计P178例2)、对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?解：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有种方法，前4次中应有1件正品、3件次品，有种，前4次测试中的顺序有种，由分步计数原理即得：（）576。【评述】本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列例4(优化设计P1
5、78例3)、在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A,B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A,B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法共有多少种?解: 依题意，A，B两种作物的间隔至少6垄，至多8垄。分3种情况：（1）若A、B之间隔6垄，这样的选垄方法有3A种.（2）若A、B之间隔7垄，这样的选垄方法有2A种.（3）若A、B之间隔8垄，有A种方法.根据分类计数原理可有3A2AA6A12种不同的选垄方法.例5(优化设计P178例4)、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是解法一：
6、前后各一个，有8122192种方法前排左、右各一人：共有44232种方法两人都在前排：两人都在前排左边的四个位置：乙可坐2个位置乙可坐1个位置224112此种情况共有426种方法因为两边都是4个位置，都坐右边亦有6种方法，所以坐在第一排总共有6612种方法两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右甲左乙右总共有种方法同样甲、乙可互换位置，乙左甲右也同样有55种方法，所以甲、乙按要求同坐第二排总共有552110种方法。综上所述，按要求两人不同排法有 1923212110346种解法二：考虑20个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻，4号座位与5号座位不算相邻，9号座位与10号座位不算相邻，共有种
7、备用题：例6、有6本不同的书（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？解：（1）在6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给丙，共有（种）。（2）6本书平均分成3堆，用上述方法重复了倍，故共有（种）。（3）从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2
8、本做一堆，最后3本做一堆，共有（种）（4）在（3）的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有（种）。（5）平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有（种）。（6）本题即为6本书放在6个位置上，共有（种）。例7、（1）10个优秀指标分配给6个班级，每班至少一个，共有多少种不同的分配方法？（2）10个优秀名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？解：（1）如果按指标的个数进行分类，讨论比较复杂，可构造模型，即用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，即即为所求。（2）先拿3个指标分别给二班1个，三班2个，则问题转化为7个优秀名额分给三个班，每班至少一个，同（1）知即为所求。三、课堂小结处理排列组合应用题的规律（1） 两种思路：直接法，间接法（2） 两种途径：元素分析法，位置分析法 （3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要完成什么样的事件是前提。 （4）基本题型及方法：捆绑法，插空法，错位法，分组分配法，均匀分组法，逆向思考法等四、【布置作业】 优化设计P178、P179
