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1、初中数学二次函数中的图形构建及存在性问题一、二次函数中有关面积的存在性问题例1（10山东潍坊）如图所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点以为直径作过抛物线上一点作的切线切点为并与的切线相交于点连结并延长交于点连结(1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；(2）若四边形的面积为求直线的函数关系式；(3）抛物线上是否存在点，使得四边形的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 答案：解：（1）因为抛物线与轴交于点两点，设抛物线的函数关系式为：抛物线与轴交于点所以，抛物线的函数关系式为：又因此，抛物线的顶点坐标为(2）连结是的两条切线，又四边形的面积为又因此，点的坐标为或
2、当点在第二象限时，切点在第一象限.在直角三角形中，过切点作垂足为点因此，切点的坐标为设直线的函数关系式为将的坐标代入得解之，得所以，直线的函数关系式为当点在第三象限时，切点在第四象限.同理可求：切点的坐标为直线的函数关系式为因此，直线的函数关系式为或(3）若四边形的面积等于的面积又两点到轴的距离相等，与相切，点与点在轴同侧，切线与轴平行，此时切线的函数关系式为或当时，由得，当时，由得，故满足条件的点的位置有4个，分别是说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.强化训练1、（10广东深圳）如图，抛物线yax2c（a0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上
3、，其中A（2,0），B（1, 3）(2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标； (3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使SPAD4SABM成立，求点P的坐标图2xyCB_D_AO答案：（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程图3 解之得：；故为所求(2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点设BD的解析式为，则有，故BD的解析式为；令则，故(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，易知BN=MN=1，易求；设，依题意有：，即：解之得：，故 符合条件的P点有三个：2、矩形OBCD
4、在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别为O(0，0)、B(0，3)、D(2，0)，直线AB交x轴于点A(1，0)(1)求直线AB的解析式；(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；OAGBDCEHxyF(3)过点E作x轴的平行线EF交AB于点F将直线AB沿轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，使得SPAGSPEH若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由二、二次函数中构建直角三角形与相似形的存在性问题例2 (甘肃）(12分) 如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛
5、物线的顶点为D（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设该抛物线的解析式为，由抛物线与y轴交于点C（0，3）,可知. 即抛物线的解析式为 1分把A（1，0）、B（3，0）代入, 得 解得. 抛物线的解析式为y = x22x3 3分 顶点D的坐标为. 4分说明：只要学生求对，不写“抛物线的解析式为y = x22x3”不扣分.（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. 5分理由
6、如下：过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.在RtBOC中，OB=3，OC=3， . 6分在RtCDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1， . 7分在RtBDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2， . 8分 ， 故BCD为直角三角形. 9分（3）连接AC，可知RtCOA RtBCD，得符合条件的点为O（0，0） 10分过A作AP1AC交y轴正半轴于P1，可知RtCAP1 RtCOA RtBCD，求得符合条件的点为 11分过C作CP2AC交x轴正半轴于P2，可知RtP2CA RtCOA RtBCD，求得符合条件的点为P2（9，0） 12分 符合条件的点有三个：O（0，0），
7、P2（9，0）.三、二次函数中构建等腰三角形的存在性问题例3（10重庆潼南）如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.(1）求抛物线的解析式；(2）点E是线段AC上一动点，过点E作DEx轴于点D，连结DC，当DCE的面积最大时，求点D的坐标；(3）在直线BC上是否存在一点P，使ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.答案：解：（1）二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,1) 解得： b= c=1二次函数的解析式为 (2）设点D的坐标为（m，0） (0m2） OD=m AD=2-m由ADEAOC得， DE=CD
8、E的面积=m=当m=1时，CDE的面积最大点D的坐标为（1，0）(3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为设y=0则 解得：x1=2 x2=1点B的坐标为（1，0） C（0，1）设直线BC的解析式为：y=kxb 解得：k=-1 b=-1直线BC的解析式为: y=x1在RtAOC中，AOC=900 OA=2 OC=1由勾股定理得：AC=点B(1,0) 点C（0，1）OB=OC BCO=450当以点C为顶点且PC=AC=时，设P(k, k1)过点P作PHy轴于HHCP=BCO=450CH=PH=k 在RtPCH中k2+k2= 解得k1=， k2=P1（，） P2（，）以A为顶点，即AC=AP=设P
9、(k, k1)，过点P作PGx轴于GAG=2k GP=k1在RtAPG中 AG2PG2=AP2(2k)2+(k1)2=5解得：k1=1,k2=0(舍)P3(1, 2) 以P为顶点，PC=AP设P(k, k1)过点P作PQy轴于点QPLx轴于点L，L(k,0)QPC为等腰直角三角形， PQ=CQ=k由勾股定理知CP=PA=kAL=k-2, PL=k1在RtPLA中(k)2=(k2)2(k1)2解得：k=P4(,) 综上所述： 存在四个点：P1（，） P2（-，） P3(1, 2) P4(,)三、二次函数中构建四边形的存在性问题（一）二次函数中构建梯形的存在性问题例4 (10山东临沂）如图，二次函
10、数y= -x2+ax+b的图像与x轴交于A(-，0)、 B(2，0)两点，且与y轴交于点C； (1) 求该拋物线的解析式，并判断ABC的形状； (2) 在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点 为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。答案：解 (1) 根据题意，将A(-，0)，B(2，0)代入y= -x2+ax+b中，得，解这个方程，得a=，b=1，该拋物线的解析式为y= -x2+x+1，当 x=0时，y=1， 点C的坐标为(0，1)。在AOC
11、中，AC=。 在BOC中，BC=。 AB=OA+OB=+2=，AC 2+BC 2=+5=AB 2，ABC是直角三角形。 (2) 点D的坐标为(，1)。 (3) 存在。由(1)知，ACBC。 j 若以BC为底边，则BC/AP，如图1所示，可求得直线yABCOxPyABCOPxBC的解析式为y= -x+1，直线AP可以看作是由直线 BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y= -x+b， 把点A(-，0)代入直线AP的解析式，求得b= -， 直线AP的解析式为y= -x-。点P既在拋物线上，又在直线AP上， 点P的纵坐标相等，即-x2+x+1= -x-，解得x1=， x2= -(舍去)。当x=时，
12、y= -，点P(，-)。 k 若以AC为底边，则BP/AC，如图2所示。 可求得直线AC的解析式为y=2x+1。 直线BP可以看作是由直线AC平移得到的， 所以设直线BP的解析式为y=2x+b，把点B(2，0)代入直线BP的解析式，求得b= -4， 直线BP的解析式为y=2x-4。点P既在拋物线 上，又在直线BP上，点P的纵坐标相等， 即-x2+x+1=2x-4，解得x1= -，x2=2(舍去)。 当x= -时，y= -9，点P的坐标为(-，-9)。 综上所述，满足题目条件的点P为(，-)或(-，-9)。强化训练1、 (10山东省淄博)已知直角坐标系中有一点A（4，3），点B在x轴上，AOB是等腰三角形(1）求满足条件的所有点B的坐标；(2）求过O、A、B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；(3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积【答案】解：作ACx轴，由已知得OC4，AC3，OA5(1）当OAOB5时，如果点B在x轴的负半轴上，如图（1），点B的坐标为（5，0）如果点B在x轴的正半轴上，如图（2），点B的坐标为（5，0）xyBCAOxyBCAO(2)(1)当OAAB时，点B在x轴的负半轴上，如图（3），BCOC，则OB8，点B的坐标为
