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1、函数的单调性与导数导学案静宁一中 王斌斌课题函数的单调性与导数学习目标知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系；2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法；2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。学习重点探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。学习难点探索函数的单调性与导数的关系。教学方法问题启发式学生学习过程师生合作探究复习 1：导数的几何意义复习2：函数单调
2、性的定义，判断单调性的方法（图像法，定义法）问题提出：判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成）那么如何判断的单调性呢？ 探究任务一：函数单调性与其导数的关系：问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度h的图像。通过观察图像, 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发现这两个函数图像有什么联系吗?问题2：结合函数，观察图（1）图（4），探讨函数与其导函数是否也存在问题（1）的关系呢？问题3：通过对问题1和问题2的观察，你能得到原函数的单调性与其导函数的正负号有何关系？你能得到
3、怎样的结论？问题4：上述结论主要是通过观察得到的，你能结合导数的几何意义为切线的斜率，你能从这个角度给予说明吗？探究任务二：与函数单调性的关系：问题5：若函数的导数，那么会是一个什么函数呢？ 问题6：在区间上，则函数区间必为增函数，你认为这句话对吗？请说明理由。问题7：函数在区间上为增函数，则在区间上成立.你认为这句话对吗？说明理由。问题8：平时我们遇到很多需要数形结合的题目，那么现在我们知道了导数的正负能帮助我们判断函数的单调性，那么我们能否利用导数信息画出函数的大致图像呢？例1:已知某函数的导函数的下列信息:当当当试画出函数图像的大致形状。问题9：根据我们得到的导数与单调性之间关系的结论，
4、你能否利用此结论来求函数的单调区间呢？例2：判断下列函数的单调性,并求出单调区间:（1）（2）（3）（4）拓展研究：导数能帮助我们简洁的求出单调区间，画出大致图象，但我们知道就是递增（递减）也有快与慢的区别，在导数上如何体现呢？例3如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像。思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？课堂练习确定下列函数的单调区间(1)y= (2)y=3xx3课堂小结1.函数导数与单调性的关系。 2.
5、本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用。3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂。作业设计课本98页，A组1，2课后思考：若将例3中高度h和时间t的关系变为横坐标为高度h和纵坐标为体积V的关系，那么此题结论又将如何？尝试用图像和定义去解决。【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数相应地， 。（2）从最高点到入水，运动员离水面的高随时间的增加而减少，即是减函数相应地， 。函数
6、的定义域为 ，并且在定义域上是 函数，其导数 。函数的定义域为 ，在上单调 ，在上单调 ；而，当时，其导数 ；当时，其导数 ；当时，其导数 。函数的定义域为 ，在定义域上为 函数；而，若，则其导数 ，当时，其导数 。函数的定义域为，在上单调 ，在上单调 ；而，因为，显然。以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间内，如果函数在这个区间内单调递增，那么 ；如果函数在这个区间内单调递减，那么 。如果，那么函数 在这个区间内是 函数。通过实例说明问题6和7是否成立,并理解利用导数的符号来判定函数的单调性之间的充分性与必要性。结论：在区间上（且 ）是函数区间必为增函数的 条件；在区间上（且 ）
7、是函数区间必为减函数的 条件。作出满足题意的函数图像。通过例2的学习，总结出利用导数求单调区间的步骤：（1）确定函数的 ；（2）求导数 ；（3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间。由导数的几何意义知，增加与减少也由快慢之分，以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得 ，以后高度增加得越来越 。一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“ ”；反之，函数的图像就“ ”一些。若函数在某个区间内可导,如果, 则为增函数;如果, 则为减函数.课后学生合作探讨。
