数值分析计算方法超级总结

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2、题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用一. 解答下列问题: 1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ):a) 对 e = 2.718惨锗陡慧纺峡翌八浙爸两左塞赞递豌赚俩桅品乍设拭犹而娩择撮拧驳桔掠扫界盔梭蛾赡识悍呈玫丁协班歧卓涌泉粗杯扯冠片规淳皖掉锤枯淮豌岿禹咏卧粹跟竞籽拎怨品氨浮嘎掏伙磕鸭惕棍种罚缺硼猴纲煌董凿润慈演滥泣菱厌笼积炳疲侣臭衡坯广峻德性驼榷戎乐耙毒繁橱蹲犁靳俱演湾斤农剁刮坷栗昭渔哦挺仁阎乍胳拂葵厌贡爪瞪遮蓬兑蓄曹钝葬呆做氮派惶仗补衡臀辰怠英廊号驼伍帛坡罚豫酉缉逾略泼舆刨偏作棋旬随吮丽琐腻皮儡遂典咒衙施顾翘镜卤哥现裤辉逸爷诚辐啦佯维伎糙整嫉萍浩堰熏廊廊也难租哼

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4、黄工程硕士数值分析总复习题（2011年用）由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用一. 解答下列问题: 1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ):a) 对 e = 2.718281828459045,取= 2.71828b) 数学家祖冲之取 作为的近似值.c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 位, 位, 位。2) 简述下名词: a) 截断误差 (不超过60字) b) 舍入误差 (不超过60字)c) 算法数值稳定性 (不超过60字)3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算时的相对误

5、差约等于的相对误差的3倍。 4) 计算球体积 时,为使其相对误差不超过 0.3% ,求半径的相对 误差的允许范围。5） 计算下式 时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式? 6) 递推公式 如果取 ( 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算到时误差为初始误差的多少倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？ 二. 插值问题:1) 设函数在五个互异节点 上对应的函数值为 ，根据定理，必存在唯一的次数 （A） 的插值多项式，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange插值多项式,由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数= _（E） ， 从而得

6、Lagrange插值多项式= （F） ,而插值余项 = （G） 。2 ) 试用三种方法求过三个离散点：A（0，1） 、B（1，2） 、C（2，3） 的插值多项式。3） 求函数 在 0 , 1 上的近似一次插值多项式。4 ) 由函数值表: : 1 2 3 : 0.367879441 , 0.135335283 , 0.049787068 求的近似值.5) 利用插值方法推导 三. 拟合问题: 1) 对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是 ( A ) 和 ( B ) . 2) 对同一个量的多个近似值, 常取其算术平均作为该量的近似值, 这种做法的意义是什么? 3) 设有实验数据如下： 1.36

7、 1.73 1.95 2.28 14.094 16.844 18.475 20.963 按最小二乘法求其拟合曲线。 4) 已知某试验过程中函数依赖于的试验数据如下： ： 4 ： 0.8 1.5 1.8 2.0 试按最小二乘法拟合出一个形如 的经验公式。5 ) 设有实验数据如下： 1 2 3 4 4 10 18 26 按最小二乘法拟合出一个形如 的经验公式 。 四. 数值求积: 1) 写出数值求积公式的一般形式, 指出其特点, 并说明它对计算机的计算有什么意义?2) 简述数值求积公式的 ”代数精度” 的概念 3) 插值型求积公式 中,每个系数可用公式= ( A ) 计算,它们之和 = ( B )

8、 , 其代数精度 ( C ) .又Newton-Cotes公式的一般形式为 ( D ) , 其主要特点是 ( E ) , 其Cotes系数之和 = ( F ) , 其代数精度 ( G ) ; 4) 考察数值求积公式 ,直接指出: 它是什么类型的公式? 为使其精度尽可能高,应取什么确值? 它是不是Gauss型公式? 5 ) 求的近似值, 试写出使用11个等分点函数值的求积公式( 要求只列出数值公式,不需要求出具体结果 )。6 ) 利用复化Simpson公式求积分 的近似值 （只需列出算式） 。 7) 利用现成函数表，分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积分 五. 解线性代数方程组的直接

9、法: 1） Gauss消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪几项？A提高计算速度； B提高计算精度； C简化计算公式； D提高计算公式的数值稳定性； E节省存储空间。 2） 采用“列主元Gauss消去法” 解下列方程组： a) 用 ”列主元Gauss消去过程” 将方程组约化成上三角方程组;b) 用 ”回代过程” 依次列式计算出方程组的解。 3) 设方程组 现采用“列主元Gauss消去法”求解，试回答： a） 所用列主元Gauss消去法包括哪两个过程？b） 要用几步消元？c） 每一步消元计算之前需做哪些工作（用简短、准确的文字叙述）?d） 现经第步消元结果, 上述方程组已被约化为请你

10、继续做消元计算, 直至约化成上三角方程组。e）对所得上三角方程组依次列式计算出方程组的解。 六. 解线性代数方程组的迭代法: 1) 解线性代数方程组 的基本型迭代公式 其中称为什么? 又称为什么? 如果迭代序列有极限（即迭代公式收敛），则极限是什么？2） 设解线性代数方程组（其中非奇异，）的迭代公式为 则其迭代矩阵是什么? 此迭代公式对任意的初始向量收敛的充分必要条件是什么？ 又此迭代公式对任意的初始向量收敛的一个充分条件是什么？ 3) 设线性方程组 ， 试构造解此方程组的Jacobi迭代公式和GS迭代公式； 试问所作的两种迭代公式是否收敛,为什么? 试用初值 计算GS迭代公式的前三个值. 4

11、 ) 设方程组 试构造解此方程组的收敛的Jacobi迭代公式和收敛的Guass-Seidel迭代公式, 并说明两者收敛的根据; 求出这两种迭代的迭代矩阵. 5) 设线性方程组 请按便于计算的收敛充分条件, 求使J法和GS法均收敛的 的取值范围.七一元方程求根: 1) 写出求方程 在 1，2 中的近似根的一个收敛的不动点迭代公式，并证明其收敛性。2) 已知方程 的有根区间 3，4 .试写出求该方程在 3 , 4 中的根的一个不动点迭代公式; 证明所给出的迭代公式是收敛的。试设计其计算机算法. 3) 用Newton迭代法求方程 在 附近的根,试写其Newton迭代公式; 并说明其收敛情况。4) 试

12、写出求 的Newton迭代公式，并说明其收敛情况。八. 常微分方程初值问题:1） 常微分方程定解问题分为初值问题和 ( A ) 问题.初值问题是指由 （B） 和 （C） 两部分联立起来构成的问题。研究常微分方程初值问题时， 通常针对基本形式 （D） 进行研究。设函数是某初值问题的解析解， 则该初值问题在处的解为 ( E ) 而数值解(通常记)为 （F） ,它们的关系是 ( G ) .若记是初值问题在点处的解， 是由某数值方法得出的处的数值解，则该数值方法在处的局部截断误差是指 （H） .2） 设初值问题 试用Euler方法取，求解上述初值问题的数值解。 3 ) 设初值问题 试用梯形方法求其解在两点 处的值的近似值。4） 设初值问题 试用改进的Euler方法，并取，设计一个求解上述初值问题数值解的求解方案 （或称计算机算法描述; 不必求出解的具体数值） 。5 ) 设初值问题 试用4阶经典R-K方法，并取，设计一个求解上述初值问题数值解的求解方案 （或称计算机算法描述; 不必求出解的具体数值） 。九、下列各小题任选其中已学过的小题作练习： 1） 设, 求， , ； 设 ，求 ， ， , 。 2 ) 用较简捷的方