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1、滚动检测(四)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本题共14小题，每小题5分，共70分)1等比数列an的公比q0，已知a21，an22an18an，则数列an的前n项的和Sn_.解析由得因为q0，所以q2，a1，Sn2n1.答案2n12(2010福建卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若a111，a4a66，则当Sn取最小值时，n_.解析设该数列的公差为d，则a4a62a18d2(11)8d6，解得d2，所以Sn11n2n212n(n6)236，所以当n6时，Sn取最小值答案63(2011泰州模拟)数列an的通项ann2，其前n项和为Sn，则S30的值为_解析由于cos2sin2co
2、s，它是以3为周期变化的，故S3025470.答案4704(2011镇江调研)已知等比数列an的各项均为正数，公比q1，设P，Q，则P与Q的大小关系是_解析因为a3a9a5a7，q1，所以PQ.答案PQ5已知数列log2(an1)(nN*)为等差数列，且a13，a25，则_.解析由log2(an1)成等差数列，得an1成等比数列，且a112，a214，所以an12n，所以an2n1，所以，所以原式1.答案16(2009江苏)设an是公比为q的等比数列，|q|1，令bnan1(n1,2，)若数列bn有连续四项在集合53，23，19,37,82中，则6q_.解析bnan1，anbn1，而bn有连续
3、四项在集合53，23,19,37,82中，an有连续四项在集合54，24,18,36,81中an是公比为q的等比数列，且|q|1，an中的连续四项为24,36，54,81，q，6q9.答案97将函数f(x)sinxsin(x2)sin(x3)在区间(0，)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列an，(n1,2,3，)，则an_.解析f(x)sinxsinsinsinxcosxsinxcosxsin 3x.所以f(x)的极值点为x，kZ，从而它在区间(0，)内的全部极值点按从小到大排列构成以为首项，为公差的等差数列，故an(n1)(n1,2,3，)答案8在数列an中，如果存在非零常数T，使得am
4、Tam对于任意正整数m均成立，那么就称数列an为周期数列，其中T叫做数列an的周期已知数列xn满足xn1|xnxn1|(n2，nN)，如果x11，x2a(a1，a0)，当数列xn的周期为3时，则该数列的前2011项的和为_解析x3|x2x1|a1|1a，所以x1x2x32，所以x1x2x3x2 0112670x2 0111 34011341.答案1 3419(2011徐州模拟)已知正项数列an的前n项的乘积等于Tnn26n(nN*)，bnlog2an，则数列bn的前n项和Sn中的最大值为_解析Snb1b2bnlog2(a1a2an)log2Tn12n2n22(n3)218.所以当n3时，Sn取
5、最大值18.答案1810已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项设bn(nN*)，Snb1b2bn，若对任意的n均有Sn成立，则最大的正整数t_.解析由(a1d)(a113d)(a14d)2，d0，得d2a12，所以an2n1，bn，Sn，所以Sn是单调递增函数，S1为Sn的最小值，故由，得t9.又tN*，所以t8.答案811(2010南京模拟)数列a1，a2，a3，a4是公差d0的等差数列，删去此数列中某项，所得到数列按原顺序构成等比数列，则的值为_解析由于既成等差数列又成等比数列的数列为常数数列，所以由d0知，只能删去a2
6、或a3.若删去a2，则由aa1a4，得(a12d)2a1(a13d)，解得4，若删去a3，则由aa1a4，得(a1d)2a1(a13d)，解得1.答案4或112(2011苏北四方联考)对于一切实数x，令x为不大于x的最大整数，则函数f(x)x称为Gauss函数或取整函数，若anf(nN*)，Sn为数列an的前n项和，则S3n_.解析由anf，得S3n312(n1)n3n.答案13设数列an的前n项的和为Sn，已知a1a(a3)，an1Sn3n，nN*.若an1an，nN*，若a的取值范围是_解析由an1Sn3n，得Sn1SnSn3n，即Sn13n12(Sn3n)所以Sn3n是首项为a3，公比为
7、2的等比数列，所以Sn3n(a3)2n1，anSnSn123n1(a3)2n2，于是由an1an，得23n(a3)2n123n1(a3)2n2，即3a12n2对nN*恒成立，所以3a8，a5.答案5，)14(2010扬州调研)已知等差数列an的首项为a，公差为b，等比数列bn的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1b1，b2a3，且对任意nN*，总存在mN*，使得am3bn成立，则a_，b_.解析ana(n1)b，bnban1(a，b1，a，bN*)由a1b1，b2a3，得即所以a2，an2(n1)b，bnb2n1.由am3bn，得5(m1)bb2n1(b2)，即m12n1对
8、任意nN*，总存在mN*，所以b5.答案25二、解答题(本题共6小题，共90分)15(本小题满分14分)若对nN*，点(cn，cn1)都在函数f(x)的图象上，则称函数f(x)是数列cn的“递推匹配函数”现已知定义在R上的函数f(x)x2和数列an，其中a12，an12a2an，设bn2an1，nN*.(1)证明：函数f(x)是数列bn的“递推匹配函数”；(2)证明：数列lg bn是等比数列；(3)求数列an的通项公式解(1)由条件得an12a2an，所以2an114a4an1(2an1)2，所以点(2an1,2an11)，即点(bn，bn1)在函数f(x)x2的图象上所以函数f(x)是数列b
9、n的“递推匹配函数”(2)由(1)知bn1b，所以lg bn12lg bn.又因为lg b1lg(2a11)lg 50，所以2.所以lg bn是首项为lg 5，公比为2的等比数列(3)由(2)得lg bn2n1lg 5，所以bn52n1，所以an(52n11)16(本小题满分14分)已知存在实数，其中0，Z，使得函数f(x)2 cos(x)是奇函数，且在上是增函数(1)试用观察法猜出两组与的值，并验证其符合题意；(2)求出所有符合题意的与的值解(1)猜想或.当时，f(x)2cos2 sin x是奇函数且在上是增函数当时，f(x)2 cos2 sin 2x是奇函数且在上是增函数(2)由f(x)为
10、奇函数，得f(0)0，即cos 0，所以k，kZ.若k2n(nZ)，则f(x)2 cos2 sin(x)是奇函数且在上是增函数，所以0.由x，得x.从而有，即，解得20，又Z，所以1或2，故若k2n1(nZ)时，f(x)2 cos2 sin x为奇函数且在上是增函数，所以0，由x，得x.从而有，即，解得02，又Z，所以1或2，故综上所述，符合题意的所有与的值为或17(本小题满分14分)在平面直角坐标xOy中，点列P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，Pn(an，bn)，对每个正整数n，点Pn位于函数y2 012x(0a2)的图象上，且点Pn，点(n,0)与点(n1,0)构成一个以Pn为顶点的
11、等腰三角形(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；(2)若对于每个正整数n，以bn，bn1，bn2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围解(1)由题意，得(ann)2ban(n1)2b，解得ann，所以bn2 012n(nN*)(2)因为函数y2 012x(0a2)单调递减，所以对nN*有bnbn1bn2，从而以bn，bn1，bn2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn2bn1bn，即210，解得a1或a1，所以1a2.故a的取值范围是(1,2)18(本小题满分16分)已知函数f(x)x24，设曲线yf(x)在点(xn，f(xn)处的切线与x轴的交点为(xn1,0)(nN*)，其中x1为正实数(1
12、)用xn表示xn1；(2)若x14，记anlg，证明：数列an成等比数列，并求数列xn的通项公式解(1)由f(x)x24，得f(x)2x，f(xn)2xn，当x10时，xn0，当x12，xn2且xnxn1时，2xn，解得xn1；当x12时，曲线yf(x)在点(2,0)处的切线方程为y4(x2)，则xn2，即xn1仍然成立综上所述，xn1(nN*)(2)由x10知xn0，又xn122(当且仅当xn2时等号成立)，所以xn2(当x12时，xn2；当x12时，xn2)于是由anlg，得an1lglglg2lg2 an，且a1lg 3，所以数列an是首项为lg 3，公比q2的等比数列，所以an2n1lg 3.于是由anlg解得xn2.故数列xn的通项公式为xn2(nN*)19(本小题满分16分)已知正项等差数列an的前n项和为Sn，其中a1a2，am，ak，ah都是数列an中满足ahakakam的任意项(1)证明：mh2k；(2)若，也成等差数列，且a1
