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1、滚动检测(四)(时间:120分钟满分:160分)一、填空题(本题共14小题,每小题5分,共70分)1等比数列an的公比q0,已知a21,an22an18an,则数列an的前n项的和Sn_.解析由得因为q0,所以q2,a1,Sn2n1.答案2n12(2010福建卷)设等差数列an的前n项和为Sn,若a111,a4a66,则当Sn取最小值时,n_.解析设该数列的公差为d,则a4a62a18d2(11)8d6,解得d2,所以Sn11n2n212n(n6)236,所以当n6时,Sn取最小值答案63(2011泰州模拟)数列an的通项ann2,其前n项和为Sn,则S30的值为_解析由于cos2sin2co
2、s,它是以3为周期变化的,故S3025470.答案4704(2011镇江调研)已知等比数列an的各项均为正数,公比q1,设P,Q,则P与Q的大小关系是_解析因为a3a9a5a7,q1,所以PQ.答案PQ5已知数列log2(an1)(nN*)为等差数列,且a13,a25,则_.解析由log2(an1)成等差数列,得an1成等比数列,且a112,a214,所以an12n,所以an2n1,所以,所以原式1.答案16(2009江苏)设an是公比为q的等比数列,|q|1,令bnan1(n1,2,)若数列bn有连续四项在集合53,23,19,37,82中,则6q_.解析bnan1,anbn1,而bn有连续
3、四项在集合53,23,19,37,82中,an有连续四项在集合54,24,18,36,81中an是公比为q的等比数列,且|q|1,an中的连续四项为24,36,54,81,q,6q9.答案97将函数f(x)sinxsin(x2)sin(x3)在区间(0,)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列an,(n1,2,3,),则an_.解析f(x)sinxsinsinsinxcosxsinxcosxsin 3x.所以f(x)的极值点为x,kZ,从而它在区间(0,)内的全部极值点按从小到大排列构成以为首项,为公差的等差数列,故an(n1)(n1,2,3,)答案8在数列an中,如果存在非零常数T,使得am
4、Tam对于任意正整数m均成立,那么就称数列an为周期数列,其中T叫做数列an的周期已知数列xn满足xn1|xnxn1|(n2,nN),如果x11,x2a(a1,a0),当数列xn的周期为3时,则该数列的前2011项的和为_解析x3|x2x1|a1|1a,所以x1x2x32,所以x1x2x3x2 0112670x2 0111 34011341.答案1 3419(2011徐州模拟)已知正项数列an的前n项的乘积等于Tnn26n(nN*),bnlog2an,则数列bn的前n项和Sn中的最大值为_解析Snb1b2bnlog2(a1a2an)log2Tn12n2n22(n3)218.所以当n3时,Sn取
5、最大值18.答案1810已知等差数列an的首项a11,公差d0,且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项设bn(nN*),Snb1b2bn,若对任意的n均有Sn成立,则最大的正整数t_.解析由(a1d)(a113d)(a14d)2,d0,得d2a12,所以an2n1,bn,Sn,所以Sn是单调递增函数,S1为Sn的最小值,故由,得t9.又tN*,所以t8.答案811(2010南京模拟)数列a1,a2,a3,a4是公差d0的等差数列,删去此数列中某项,所得到数列按原顺序构成等比数列,则的值为_解析由于既成等差数列又成等比数列的数列为常数数列,所以由d0知,只能删去a2
6、或a3.若删去a2,则由aa1a4,得(a12d)2a1(a13d),解得4,若删去a3,则由aa1a4,得(a1d)2a1(a13d),解得1.答案4或112(2011苏北四方联考)对于一切实数x,令x为不大于x的最大整数,则函数f(x)x称为Gauss函数或取整函数,若anf(nN*),Sn为数列an的前n项和,则S3n_.解析由anf,得S3n312(n1)n3n.答案13设数列an的前n项的和为Sn,已知a1a(a3),an1Sn3n,nN*.若an1an,nN*,若a的取值范围是_解析由an1Sn3n,得Sn1SnSn3n,即Sn13n12(Sn3n)所以Sn3n是首项为a3,公比为
7、2的等比数列,所以Sn3n(a3)2n1,anSnSn123n1(a3)2n2,于是由an1an,得23n(a3)2n123n1(a3)2n2,即3a12n2对nN*恒成立,所以3a8,a5.答案5,)14(2010扬州调研)已知等差数列an的首项为a,公差为b,等比数列bn的首项为b,公比为a,其中a,b都是大于1的正整数,且a1b1,b2a3,且对任意nN*,总存在mN*,使得am3bn成立,则a_,b_.解析ana(n1)b,bnban1(a,b1,a,bN*)由a1b1,b2a3,得即所以a2,an2(n1)b,bnb2n1.由am3bn,得5(m1)bb2n1(b2),即m12n1对
8、任意nN*,总存在mN*,所以b5.答案25二、解答题(本题共6小题,共90分)15(本小题满分14分)若对nN*,点(cn,cn1)都在函数f(x)的图象上,则称函数f(x)是数列cn的“递推匹配函数”现已知定义在R上的函数f(x)x2和数列an,其中a12,an12a2an,设bn2an1,nN*.(1)证明:函数f(x)是数列bn的“递推匹配函数”;(2)证明:数列lg bn是等比数列;(3)求数列an的通项公式解(1)由条件得an12a2an,所以2an114a4an1(2an1)2,所以点(2an1,2an11),即点(bn,bn1)在函数f(x)x2的图象上所以函数f(x)是数列b
9、n的“递推匹配函数”(2)由(1)知bn1b,所以lg bn12lg bn.又因为lg b1lg(2a11)lg 50,所以2.所以lg bn是首项为lg 5,公比为2的等比数列(3)由(2)得lg bn2n1lg 5,所以bn52n1,所以an(52n11)16(本小题满分14分)已知存在实数,其中0,Z,使得函数f(x)2 cos(x)是奇函数,且在上是增函数(1)试用观察法猜出两组与的值,并验证其符合题意;(2)求出所有符合题意的与的值解(1)猜想或.当时,f(x)2cos2 sin x是奇函数且在上是增函数当时,f(x)2 cos2 sin 2x是奇函数且在上是增函数(2)由f(x)为
10、奇函数,得f(0)0,即cos 0,所以k,kZ.若k2n(nZ),则f(x)2 cos2 sin(x)是奇函数且在上是增函数,所以0.由x,得x.从而有,即,解得20,又Z,所以1或2,故若k2n1(nZ)时,f(x)2 cos2 sin x为奇函数且在上是增函数,所以0,由x,得x.从而有,即,解得02,又Z,所以1或2,故综上所述,符合题意的所有与的值为或17(本小题满分14分)在平面直角坐标xOy中,点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn),对每个正整数n,点Pn位于函数y2 012x(0a2)的图象上,且点Pn,点(n,0)与点(n1,0)构成一个以Pn为顶点的
11、等腰三角形(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式;(2)若对于每个正整数n,以bn,bn1,bn2为边长能构成一个三角形,求a的取值范围解(1)由题意,得(ann)2ban(n1)2b,解得ann,所以bn2 012n(nN*)(2)因为函数y2 012x(0a2)单调递减,所以对nN*有bnbn1bn2,从而以bn,bn1,bn2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn2bn1bn,即210,解得a1或a1,所以1a2.故a的取值范围是(1,2)18(本小题满分16分)已知函数f(x)x24,设曲线yf(x)在点(xn,f(xn)处的切线与x轴的交点为(xn1,0)(nN*),其中x1为正实数(1
12、)用xn表示xn1;(2)若x14,记anlg,证明:数列an成等比数列,并求数列xn的通项公式解(1)由f(x)x24,得f(x)2x,f(xn)2xn,当x10时,xn0,当x12,xn2且xnxn1时,2xn,解得xn1;当x12时,曲线yf(x)在点(2,0)处的切线方程为y4(x2),则xn2,即xn1仍然成立综上所述,xn1(nN*)(2)由x10知xn0,又xn122(当且仅当xn2时等号成立),所以xn2(当x12时,xn2;当x12时,xn2)于是由anlg,得an1lglglg2lg2 an,且a1lg 3,所以数列an是首项为lg 3,公比q2的等比数列,所以an2n1lg 3.于是由anlg解得xn2.故数列xn的通项公式为xn2(nN*)19(本小题满分16分)已知正项等差数列an的前n项和为Sn,其中a1a2,am,ak,ah都是数列an中满足ahakakam的任意项(1)证明:mh2k;(2)若,也成等差数列,且a1