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1、正方形和圆之间部分的面积小榄镇永宁中心小学 黎艳眉一、创设情境，导入新课。1、前两天，我们学习了圆和圆环的面积计算，谁来说说它们的面积计算公式？2、课件出示生活中类似外圆内方和外方内圆形状的物体。 生活中我们不但能看到许多圆形的物体，圆环这样的设计，还有很多是由圆和其他图形组成的，我们来看看这些数学影子，欣赏欣赏图形的美，感受生活处处有数学。 中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。这两种图形我们在生活中经常会看到，十分美观，给人舒服、大气之感。3、设计图中两个圆的半径都是一米，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？这节课我们就来探索这类问题的解决方法。板书：正方形和圆之间部分的面
2、积二、探究新知识 1、多媒体出示“外方内圆”的几何图形。 （1）引导学生观察图形间的异同、联系、思考计算图中阴影部分面积的方法。 从题目中你了解到哪些数学信息？要解决什么问题？我把这幅设计的简图画下来，观察这两幅图，你发现它们有什么特点？有什么联系和区别？（如：都是由正方形和圆形组成的，正方形和圆形的位置不同，左图是一个正方形中有一个最大的圆，右图中是一个圆中有一个最大的正方形，求正方形和圆之间部分的面积，左图求的是正方形比圆多的面积，右图中求的是圆比正方形多的面积。左面正方形的边长等于圆的直径，右面正方形的对角线的长等于圆的直径。） 板书：外方内圆 、外圆内方板书：阴影部分的面积=正方形的面
3、积圆的面积。板书：阴影部分的面积=圆的面积正方形的面积。（2）先让学生独立思考，再与同桌交流自己的想法。 知道了求阴影部分面积的解题思路，让我们先来解决左边“外方内圆”的阴影部分面积吧。你能先在练习本上试试计算吗？写完后，跟同桌说说你的想法。正方形和圆的面积都可以通过公式计算求得。 S圆：3.141=3.14 通过观察：正方形的边长等于圆的直径，即2m。S正：22=4 所以，S正S圆：4-3.14=0.86板书：S圆：3.141=3.14 S正：22=4 S正S圆：4-3.14=0.86小结：同学们通过图形间的联系，自主找到了解决问题的办法，真了不起。 2、多媒体出示“外圆内方”的几何图形 （
4、1）接下来，让我们尝试用“外方内圆”图形面积的计算，来求“外圆内方”图形的面积。 S圆=3.141=3.14 （2）求正方形的面积，遇到什么困难了吗？不知道正方形的边长，不能直接求。有没有其他方法可以求出正方形的面积呢？在数学学习过程中，我们常用 到“转化”的数学思想，没有学过的图形转化成学过的，把复杂的转化成简单的，正方形的边长不好求，正方形的面积不能直接求 ，那我们是否可以把它转化成其它学过的图形来求它的面积呢？四人小组讨论。拿铅笔来画一画，试一试，看是否能找到解决问题的方法。 引导学生思考：能与正方形发生联系的只有圆的直径或半径，而直径恰好是正方形的对角线，虽然仍然不能求出正方形的边长，
5、但可以把正方形的面积转化为两个三角形的面积之和。这种添加辅助线的方法有时不能一下子就能找到，因此需要我们认真观察图形，找到图形之间的联系，利用问题中的可用信息“顺藤摸瓜”。把图形中的正方形看成两个三角形，则两个三角形的面积和就是正方形的面积。三角形的底和高分别是？三角形的底是圆的直径，三角形的高是圆的半径。三角形的面积怎么求？S三=ah板书：转化 （3）让学生根据提示先独立计算出正方形的面积 指名学生回答，老师板书。 S正=（21）2=2（） 所以，阴影部分面积为 S圆-S正=3.14-2=1.14（）小结：应用“转化”的数学思想，添加辅助线，分析理解，又为我们提供了解决问题的新途径。解决图形
6、题，多动笔画画，你会有不一样的收获哦！3、探讨一般化的结论，总结出解决这类问题的方法。 如果两个圆的半径都是r，那么阴影部分的面积怎么用含有r的式子表示？请试试把它写出来。小结规律及方法： 外方内圆：（2r）-3.14r=0.86r 外圆内方：3.14r-（2rr）2=1.14r 那么我们解答得对不对呢？有什么方法验证吗？ 当r =1m时，和前面的结果完全一致。说明我们的结论是正确的。 小结：不管圆的大小如何改变，外切正方形与圆之间的面积都是半径平方的0.86倍，而内接正方形与圆之间的面积都是半径平方的1.14倍，对于同一个圆而言，两个正方形之间的面积是半径平方的2倍。三、巩固练习1、完成教材
7、“做一做”的练习题右图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是24cm，外面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？ 出示两种思路，让学生优化做法。2、右图中的铜钱直径28mm，中间的正方形边长为6mm。这个铜钱的面积是多少？ 为什么不能直接用1.14r2来计算呢？对，正方形内画最大的圆，和圆内画最大的正方形才直接用这两个结论来计算。所以这题我们要用方法一：先算出圆的面积是再算出正方形的面积是用圆的面积减正方形的面积就得到铜钱的面积。3、街心花园进行美化改造，打算在半径5米的圆形草坪中间修一个最大的正方形花坛。改造后草坪的面积还剩多少平方米？ 先画示意图，再独立思考解决。四、总结延伸 通过这节课的学习，你有什么收获？ 1、（1）在正方形内画一个最大的圆，这个圆的( )等于正方形的（ ）。如果圆的半径为r，那么正方形和圆之间部分的面积为（ ）。（2）在圆内画一个最大的正方形，这个正方形的( )等于圆的（ ）。如果圆的半径为r，那么圆和正方形之间部分的面积为（ ）。2、借助示意图理解题意，把数量关系和图形结合起来分析问题和解决问题，这就是我们数学学习过程中蕴含着的“数形结合”思想，在解决图形问题中，我们还常用到“添加辅助线”的方法，寻求图形间的内在联系，并应用“转化”等数学思想，让解题过程得心应手，事半功倍！
