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1、2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.假如考生的解答方法和本解答不同，只要思绪合理，环节对的，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是对的的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不管是否写在括号内），一律得0分.1设，且，则代数式的值为 （ ） 5. 7. 9. 11.【答】.解
2、 由题设条件可知，且，所以是一元二次方程的两根，故，因此. 故选.2如图，设，为三角形的三条高，若，则线段的长为 （ ）. 4. . .【答】.解 由于，为三角形的三条高，易知四点共圆，于是，故，即，所以.在Rt中，. 故选.3从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）. . . .【答】.解 可以组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为
3、12，15，21，24，42，45，51，54，共8个.2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第1页（共9页）所以所组成的数是3的倍数的概率是. 故选.4在中，和分别是这两个角的外角平分线，且点分别在直线和直线上，则 （ ）. . . 和的大小关系不拟定.【答】.解 ，为的外角平分线，.又，.又， . 因此，.故选.5现有价格相同的5种不同商品，从今天开始天天分别降价10或20，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为 （ ） . . . .【答】 .解 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为，过
4、了天. 天后每种商品的价格一定可以表达为，其中为自然数，且.要使的值最小，五种商品的价格应当分别为：，其中为不超过的自然数.所以的最小值为. 故选.6 已知实数满足，则的值为 （ ） . 2023. . 1.2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第2页（共9页）【答】.解 ，由以上两式可得. 所以，解得，所以. 故选.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1设，则.解 ，.2如图，正方形的边长为1，为所在直线上的两点，且，则四边形的面积为解 设正方形的中心为，连，则，, .又，2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第3页（共9页），所以，故，从而.根据对称性可
5、知，四边形的面积.3已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，且.设满足上述规定的的最大值和最小值分别为，则解 根据题意，是一元二次方程的两根，所以，. ，.方程的判别式，.，故，等号当且仅当时取得；，故，等号当且仅当时取得.所以，于是.4依次将正整数1，2，3，的平方数排成一串：4，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2023个位置的数字是 1 .解 到，结果都只各占1个数位，共占个数位；到，结果都只各占2个数位，共占个数位；到，结果都只各占3个数位，共占个数位；到，结果都只各占4个数位，共占个数位；到，结果都只各占5个数位，共占个数位
6、；此时还差个数位.到，结果都只各占6个数位，共占个数位.2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第4页（共9页）所以，排在第2023个位置的数字恰好应当是的个位数字，即为1.第二试 （A）一（本题满分20分） 已知，对于满足条件的一切实数，不等式 （1）恒成立.当乘积取最小值时，求的值.解 整理不等式（1）并将代入，得 （2）在不等式（2）中，令，得；令，得. 易知，故二次函数的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件的一切实数恒成立，所以它的判别式，即. 由方程组 （3）消去，得，所以或.又由于，所以或， 于是方程组（3）的解为或
7、所以的最小值为，此时的值有两组，分别为和. 2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第5页（共9页）二（本题满分25分） 如图，圆与圆相交于两点，为圆的切线，点在圆上，且.（1）证明：点在圆的圆周上.（2）设的面积为，求圆的的半径的最小值. 解 （1）连，由于为圆心，所以，从而. 由于，所以，所以，因此点在圆的圆周上. （2）设圆的半径为，的延长线交于点，易知.设，则，. 由于,，所以，所以，即，故. 所以，即，其中档号当时成立，这时是圆的直径.所以圆的的半径的最小值为. 三（本题满分25分）设为质数，为正整数，且 （1） 求，的值.解 （1）式即，设，则 （2）故，又，所以 （
8、3）2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第6页（共9页）由（1）式可知，能被509整除，而509是质数，于是能被509整除，故为整数，即关于的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式为完全平方数. 不妨设（为自然数），则.由于和的奇偶性相同，且，所以只也许有以下几种情况：两式相加，得，没有整数解.两式相加，得，没有整数解.两式相加，得，没有整数解.两式相加，得，没有整数解.两式相加，得，解得.两式相加，得，解得，而不是质数，故舍去.综合可知. 此时方程（3）的解为或（舍去）.把，代入（2）式，得. 第二试 （B）一（本题满分20分）已知，对于满足条件的一切实数对，不等式 （
9、1）恒成立.当乘积取最小值时，求的值.解 由可知.在（1）式中，令，得；令，得.2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第7页（共9页）将代入（1）式，得，即 （2）易知，故二次函数的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件的一切实数恒成立，所以它的判别式，即. 由方程组 （3）消去，得，所以或，又由于，所以或. 于是方程组（3）的解为或所以满足条件的的值有两组，分别为和. 二（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.三（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同. 第二试 （C）一（本题满分20分）题目和解答与（B）卷
10、第一题相同. 二（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同. 三（本题满分25分）设为质数，为正整数，且满足 2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第8页（共9页）求的值.解 （1）式即，设，则 （3）故，又，所以 （4）由（1）式可知，能被509整除，而509是质数，于是能被509整除，故为整数，即关于的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式为完全平方数. 不妨设（为自然数），则.由于和的奇偶性相同，且，所以只也许有以下几种情况：两式相加，得，没有整数解.两式相加，得，没有整数解.两式相加，得，没有整数解.两式相加，得，没有整数解.两式相加，得，解得.两式相加，得，
11、解得，而不是质数，故舍去.综合可知，此时方程（4）的解为或（舍去）. 把，代入（3）式，得，即.代入（2）式得，所以，因此.2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第9页（共9页） 2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 设，则 （ A ）A.24. B. 25. C. . D. .2在ABC中，最大角A是最小角C的两倍，且AB7，AC8，则BC （ C ）A. B. . C. . D. .3用表达不大于的最大整数，则方程的解的个数为 （ C ）A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）A. B. . C. . D. .5如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE （ D ）A. B. . C. . D. .6设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是 （ B ）A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空题（本题满分2
