《专题01 平面向量及其应用-新教材2019-2020学年下学期高一数学期末挑重点(人教A版必修第二册)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题01 平面向量及其应用-新教材2019-2020学年下学期高一数学期末挑重点(人教A版必修第二册)（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题01 平面向量及其应用1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模).(2)零向量：长度为0的向量,其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1
2、)|a|a|；(2)当0时,a的方向与a的方向相同；当0时,a的方向与a的方向相反；当0时,a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数,使得ba.4.平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.5.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.6.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a(x1,y1),b(x2,y2),则ab(
3、x1x2,y1y2),ab(x1x2,y1y2),a(x1,y1),|a|(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1,y1),B(x2,y2),则(x2x1,y2y1),|.7.平面向量共线的坐标表示设a(x1,y1),b(x2,y2),则abx1y2x2y10.8.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b,记a,b,则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则a与b的数量积(或内积)ab|a|b|cos_.规定：零向量与任一向量的数量积为0,即0a0.(3)数量积的几何意义
4、：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_的乘积.9.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1,y1),b(x2,y2),为向量a,b的夹角.(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|(3)夹角：cos (4)两非零向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| 10.平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律).(2)ab(ab)a(b)(结合律).(3)(ab)cacbc(分配律).11.正、余弦定理在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为ABC外
5、接圆半径,则定理正弦定理余弦定理公式2Ra2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C常见变形(1)a2Rsin A,b2Rsin_B,c2Rsin_C；(2)sin A,sin B,sin C；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A,bsin Ccsin B,asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r. 考点一平面向量的概念1（2020宁夏回族自治区宁夏育才中学高一月考）有下列命题：若,则
6、；若,则四边形是平行四边形；若,则；若,则.其中,假命题的个数是（ ）A1B2C3D4【参考答案】C【解析】,则的方向不确定,则不一定相等, 错误;若,则的方向不一定相同,所以四边形不一定是平行四边形,错误;若,则,正确；若,则时,不一定成立,所以错误.综上,假命题的是,共3个.故选:C.考点二平面向量的线性运算2.（2020湖南省高三三模（理）在等腰梯形中,分别为,的中点,则（ ）ABCD【参考答案】A【解析】根据题意,作图如下：设,因为,所以,即,所以,解得,即.故选：A考点三共线向量定理及其应用3.（2020山西省忻州一中高一期中）如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段的一个靠近点
7、B的三等分点,设.(1)用向量与表示向量;(2)若,求证:C,D,E三点共线.【参考答案】(1),;(2)证明见解析.【解析】(1),.(2)证明: ,与平行,又与有配合点C,三点共线.考点四平面向量的坐标运算4.（2019福建省莆田一中高三月考（文）已知向量,若,则实数_【参考答案】-2【解析】向量,（1+t,1）,根据得到：（1+t）=1-t解得t=-2.故参考答案为-2.考点五平面向量数量积的运算5.（2020陕西省高三三模（理）已知非零向量满足,且,则与的夹角为（ ）ABCD【参考答案】B【解析】因为,所以,即,又,所以,即;又,所以.故选：B.考点六正弦、余弦定理6.（2020毕节市
8、实验高级中学高一期中）在ABC中角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b=2,c=1,cosB=34(1)求sinC的值；(2)求ABC的面积【解析】(1)b=2,c=1,cosB=34sinB=1-cos2B=74,由正弦定理可得：sinC=csinBb=1742=148(2)cb,C为锐角,由(1)可得：cosC=1-sin2C=528,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=74528+34148=144,SABC=12bcsinA=1221144=74一、 单项选择题1（2020四川省棠湖中学高一月考）下列说法正确的是（ ）A若,则B若,则C若,则D若,则不是共
9、线向量【参考答案】C【解析】向量不能比较大小,所以A不正确；需满足两个条件：同向且,所以B不正确；C正确；若是共线向量,则方向相同或相反,D不正确.故选：C2（2020全国高三其他（文）已知向量,则AB2C5D50【参考答案】A【解析】由已知,所以,故选A3（2020珠海市第二中学高一开学考试）设为所在平面内一点,若,则下列关系中正确的是（ ）ABCD【参考答案】A【解析】=3()；=.故选A.4（2020湖南省株洲二中高三一模（理）已知等边三角形的边长为2,其重心为,则（ ）A2BCD3【参考答案】C【解析】如图所示建立平面直角坐标系.则,重心为, 点的坐标为.则,所以.故选：C5（2020
10、河北省涿鹿中学高一月考）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知,a=2,c=,则C=ABCD【参考答案】B【解析】sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,sinB+sinA（sinCcosC）=0,sinAcosC+cosAsinC+sinAsinCsinAcosC=0,cosAsinC+sinAsinC=0,sinC0,cosA=sinA,tanA=1,A,A= ,由正弦定理可得,a=2,c=,sinC= ,ac,C=,故选B6（2020河南省南阳中学高三月考（理）已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是( )ABCD【参考答案】B【解析】关于的方程
11、有实根 设与的夹角为,则又 又 本题正确选项：7（2020四川省仁寿县文宫中学高一月考（文）已知非零向量与满足且,则的形状是（ ）A三边均不相等的三角形B等腰直角三角形C等边三角形D以上均有可能【参考答案】C【解析】由题的,平分线所在的直线与垂直,为等腰三角形.又,故为等边三角形.故选：C8（2019湖南省高三三模（理）在钝角中,角所对的边分别为,且,已知,则的面积为（ ）ABCD【参考答案】C【解析】由正弦定理,得,由,得（舍）,由余弦定理,得,即,解得.由,得,所以的面积,故选C.二、 多项选择9（2020全国高一课时练习）已知点D,E,F分别是的边的中点,则下列等式中正确的是( )ABC
12、D【参考答案】ABC【解析】由向量加法的平行四边形法则可知,故选：ABC10（2020济南市历城第二中学高一开学考试）在中,内角所对的边分别为.根据下列条件解三角形,其中有两解的是（ ）ABCD【参考答案】BC【解析】对于选项A中：由,所以,即三角形的三个角是确定的值,故只有一解；对于选项B中：因为,且,所以角有两解；对于选项C中：因为,且,所以角有两解；对于选项D中：因为,且,所以角仅有一解.故选：BC.11（2020涟水县第一中学高一开学考试）已知的面积为,且,则( )A30B60C150D120【参考答案】BD【解析】因为,所以,所以,因为,所以或120.故选：BD12（2020山东省新
13、泰市第一中学高一期中）设点是所在平面内一点,则下列说法正确的是（ ）A若,则点是边的中点B若,则点在边的延长线上C若,则点是的重心D若,且,则的面积是的面积的【参考答案】ACD【解析】A中：,即：,则点是边的中点B. ,则点在边的延长线上,所以B错误.C. 设中点D,则,由重心性质可知C成立.D且设所以,可知三点共线,所以的面积是面积的故选择ACD三、填空题13（2020武汉市第六中学高一期中）已知为单位向量,且=0,若 ,则_.【参考答案】.【解析】因为,所以,所以,所以 14（2020四川省仁寿县文宫中学高一月考（文）已知向量夹角为,且,则_【参考答案】【解析】 的夹角, , , .15（2020陕西省高三二模（文）在中,若,则的最大值为_【参
