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1、DVD租赁问题摘要我们通过分析题目可知，在租赁过程中，网络经营者主要关注DVD的购买和分配。根据题目所提出的要求，本文针对在线DVD租赁问题中的订购、分配等问题进行了研究，建立了DVD的购买和分配0-1规划模型，给出了该问题的优化方案。问题一：通过对调查问卷的整理分析，我们得到了1000个会员对于其中5种DVD愿意观看的频数。因此我们认为愿意观看各种DVD的人数服从二项分布，从而计算出在多种可靠度下应该购买DVD的数量，见表一。表一：（在多种可靠度下应该购买DVD的数量）：可靠度DVD1DVD2DVD3DVD4DVD580%70383529177189036099%71043578180791
2、6375问题二：题目要求如何进行分配，使会员获得最大满意度。所以我们以会员的标准最大满意度为目标函数，建立一个01规划模型，得到分配方案，并使用软件LINGO编程求解。得到最大满意度89.13%，和前30位会员的分配方案（见表五）。问题三：我们以会员的最大满意度和网站的最小购买量建立双目标函数。考虑到60%的会员在一个月内由于两次租赁，而致使一部分DVD可被重复利用，因而，我们采用了分两个阶段购买的方案，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划模型，利用lingo求得应购买3066张。从而使实际购买量比网站原来的拥有量小，并且使会员的满意度达到了99.38%。 问题四：我们对新出的DVD进行市场需
3、求预测；利用市场预测选取购买方案，最后按会员在线的订单进行合理分配。在这个过程中，我们追求获得最大收益。因而一方面减少购买DVD所需的成本，另一方面最大化满足各会员的需求。关键词： 二项分布、0-1规划、双目标规划、满意度一、问题重述许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核，为顾客提供更为周到的服务。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发
4、。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：1） 网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数。此外，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2） 表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的
5、1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员分别获得哪些DVD。3） 假设表2中DVD的现有数量全部为0。经营管理人员应如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？4） 如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。二、模型假设1、忽略DVD租赁过程中的磨损；2、假设以一个月为一个周期，考虑在一个周期内DVD的租赁情况；3、假设一个
6、会员在一个月内租赁到想看的DVD的时间不影响其满意度；4、假设会员只有将第一次租赁的DVD返还网站才能进行第二次租赁；5、假设一个周期结束，所有的DVD全部归还网站，不影响下一个周期的租赁；6、假设每一个会员同一种DVD只租赁一次。三、符号说明：购买j种DVD光盘的数量：租赁j种DVD光盘的频率：第i人是否租赁j种DVD光盘b：第i人是否租赁到j种DVD光盘的满意度：第i人对j种光碟的偏爱程度四、问题分析题目中主要研究的是：网站对DVD的购买和分配问题，因此我们通过预测，建立模型，最后求解可以帮助网站进行合理购买以及对DVD的分配方案。使得会员得到最大的满意度。问题一：该网站会员中至少50%的
7、人在一个月内能够看到该DVD，为了尽可能使商家购入少的DVD以满足需求，本文先假设在一个周期内网站内的会员对光碟都进行一次性租赁，根据可靠度的不同，求出各个可靠度下的结果。然后再根据有60%的会员每月租赁DVD两次，将所得结果按一定比例减小。问题二：这是一个最优分配的问题。根据各个会员的偏爱程度不同，网站对DVD进行分配，建立以满意度为目标的函数，在DVD数量一定的前提下，使其合理的分配，使目标函数达到最大值。问题三：问题三是一个多目标函数，有两个目标：要有95%的会员得到他想看的DVD；满意度要达到最大。我们以会员的最大满意度和网站的最小购买量建立双目标函数。同样利用软件LINGO进行求解。
8、问题四：题目要求我们自己提出问题并给与解答。所以我们关注对新出DVD的购买与分配。五、模型建立与求解问题一：针对问题一我们建立如下模型并求解。通过题目中的表二我们可以都得到会员租赁5种DVD的概率。表二 （对1000个会员的调查结果）：DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数200100502510第i张DVD被租赁的概率对于每张DVD来说只有租赁与不租赁两种情况，所以服从两点分布。设随机变量其中i=1,2,100000,显然随机变量服从两点分布，即 , ，其中通过上表一得到。 设随机变量即表示100000个会员中租赁第i张DVD的总数，由于会员之间是否租赁该张DVD是
9、相互独立的，因而如果网站准备了张DVD是有数的，则满足至少50%的会员看到该DVD的概率是 =其中约等式是由中心极限定理得到。为了提高至少满足50%的人看到该片的可靠度（即概率），我们需要改变提供的数量。设可以保证至少50%的人看到该片的可靠度为99%，即，由此可以得到t=2.33,则同时，由于60%的会员每个月会租赁DVD两次，40%的会员每个月会租赁DVD一次，所以租赁两次的会员会将第一次租赁的DVD归还，这样就可以满足其他会员租赁的要求，但是因为该张DVD是被会员第一次租赁，还是被会员第二次租赁的情况是随机的。我们假设这两种情况是等可能的，所以该张DVD被再次利用的期望值为：由此我们可以
10、得出：只需要准备所需量的70%就可以满足题目中的要求。综上所述，我们以99%的可靠度满足可少50%的租赁会员能够看到某种DVD所需要准备的该种DVD的数量为：代入相关数据，我们可以得到保证至少50%的人在一个月内看到该种DVD，网站需要准备该DVD的张数。我们还计算了在可靠度为50%的情况下，网站需要准备DVD的张数。共同结果如下表三。表三（50%以上会员三个月内看到DVD情况下需要准备的数量）：可靠度DVD1DVD2DVD3DVD4DVD550%70003500175087535099%710435781807916375为了保证在三个月内使得95%的会员看到其所想要租赁的DVD，只需要提供
11、一个月内使得95%的会员看到其想要租赁的DVD的总量的，因为每个月为一个周期，所以3个月内DVD的流通量相当于一个月内DVD流通了三个周期的量。因而以99%的可靠度使得三个月内95%的会员看得到该DVD，网站应准备的张数为带入相关数据，可以得到保证这少95%的会员三个月内看到该DVD，网站需要准备该DVD的张数。同样我们还计算了在可靠度为50%的情况下，网站需要准备DVD的张数。共同结果如下表四。表四（95%以上会员三个月内看到DVD情况下需要准备的数量）：可靠度DVD1DVD2DVD3DVD4DVD550%44342217110955522299%449922661144580238问题二：
12、本问题要求如何把网站手上现有的100张DVD，和在线的1000为会员的需求进行合理的分配，以达到每位会员的最大满意度。因为我们要求的是最优化问题所以我们使用LINGO，通过分析我们建立如下模型：设其中为一维行向量，表示对第i个会员的DVD的分配情况。设表示第i个会员对第j张DVD的偏爱程度，由于的数字越大，表示其偏爱程度越小，同时会员得到该DVD的满意度越小，因而我们定义第i个会员分配到第j张DVD的满意度为则则会员的满意度矩阵为其中为一维行向量，表示第i个会员分配到各类DVD的满意度。因而，第i个会员对该方案的满意度为：当第i个会员得到其偏爱度为1，2，3，的三张DVD时，他是最满意的，其满
13、意度为，由此可以得到第i个会员的标准化满意度为：为了会员获得最大的满意度，可以是他们的满意度和达到最大，由此得到目标函数为：max在分配的过程中，每种DVD分配给会员的总数不超过网站准备的总数，即再一次分配中，每个会员获得3张DVD；如果不够3张就视为分给该会员0张DVD，即:综合上述分析，可以得到该问题的模型为max.根据上述模型，我们使用LINGO软件进行求解（附录1），结果如下：目标函数的最大值为89.13%; 会员所得光盘的张数和相对应的人数，以及比率见表五。表五（问题二结果）：会员所得光盘的张数0123人数0654940比率0%0.60%5.40%94%前30位会员获得DVD的情况见
14、表六，表六（前三十位会员获得DVD的情况表）：会员会员获得的3张DVD会员会员获得的3张DVDC0001D008 D041 D098 C0016 D055 D084 D097C0002D006 D044 D062 C0017 D047 D051 D067C0003D032 D050 D080 C0018 D044 D060 D078C0004D007 D018 D041 C0019 D066 D084 D086C0005D011 D066 D068 C0020 D045 D061 D089C0006D019 D053 D066 C0021D045 D050 D053C0007D008 D026 D081 C0022 D038 D055 D057C0008D031 D035 C0023 D029 D081 D095C0009D053 D078 D100 C0024 D037 D041 D076C0010D055 D060 D085 C0025 D009D069 D081C0011D059 D063 D066 C0026 D022 D068 D095C0012
