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1、正弦曲线一实例的课堂探究【教学内容】高二数学上册第八章第二节。【课前准备】1向学生交待和说明本研究课题的研究内容和方式。2让每个学生准备一个切成圆柱形的萝卜，一把水果刀，一张白纸，胶水，小刀。【教学过程】一、提出问题首先布置学生用准备好的长方形纸片紧紧围住圆柱状萝卜的侧面，用胶水粘牢，再用水果刀沿着与圆柱底面不平行的方向将萝卜切成两部分 (少数同学沿与底面平行的方向切开)，切口要平整，观察切口的形状。问题一：平面与圆柱面的交线是什么圆形?生1：椭圆 (或圆)。师：对椭圆这一情形，大家直觉感知的结果完全正确，你能做出逻辑证明吗?对此问题学生知其然而不知其所以然，“认知渴望欲”激起了学生积极探究的
2、冲动。经过激烈讨论，学生l指出，要证明交线是椭圆，按椭圆定义，可考虑证交线上任一点到两定点距离之和为常数，但大家思考后觉得这种方法无从下手。教师点拨：在横截面内建立直角坐标系，证明曲线上的点坐标满足椭圆方程，同时注意与圆柱底面的圆周联系。学生2给出了证明：建立如图1所示的两个直角坐标系，求出截面上的任一点P(x，y) 与其在下底面圆周上的射影P(x，y) 的坐标关系： 问题二：该椭圆在圆柱侧面展开图上是什么图形? 学生讨论热烈，猜想圆弧、抛物线段等二次曲线的一部分，但没有得出一致性的结论。二、观察实验学生已经动手将前面围着圆柱侧面已切断的纸片展开到一个平面上来，观察切口的形状，大家惊讶地发现，
3、展开图是正弦曲线或余弦曲线(如图2、3、4)。师：对这一结果，同学们又能否给出证明?三、探求论证生3：迁移问题一的证明思想，证明展开图中的曲线方程为y=Asin(x+)+B或y=Acos(x+)+B的形式。如图5矩形B1B2D2D1是以CD长为母线长的圆柱沿母线AB展开的侧面展开图，C1C2是以EA为直径的圆O的展开图，以C1C2所在直线为x轴，以CD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设P是以O为中心的椭圆上的任一点，它在展开图中对应的点为T (x，y)，它在圆心O上的射影为P，又设POA=a (0a)，椭圆面与圆O面的锐二面角为，则EP弧长等于R-Ra，线段PP的长等于(R-Rcos
4、 a) tan，又由展开图关于直线ED的对称性知，在直角坐标系xEy，曲线方程为：y=Rtancos+Rtan，在x0,R是一个周期的余弦曲线。四、应用研究问题三：若太阳光线以入射角a(a0)照向地平面上的半径为R的球，球的边缘线是椭圆吗?生5：根据光学性质，球的阴影为一圆柱，地面相当于一个不平行圆柱底面的截面，可知本问题答案为椭圆。生5：是椭圆，可证明球影边缘线方程为：x2cos2+y2=R2引申问题3：(作为课外研究作业) (问题4) 球与地面的接触点有什么特点？(答：椭圆的焦点。) (问题5) 高度不低于球半径的点光源去照地平面上的球，其边缘线是什么图形？(答：圆，或椭圆，或抛物线，或双曲线。)
