《知识讲解_三角恒等变换综合_基础》由会员分享，可在线阅读，更多相关《知识讲解_三角恒等变换综合_基础（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三角恒等变换综合编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4、能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【知识网络】【要点梳理】要点一：两角和、差的正、余弦、正切公式sin(a P)=；cos(aB)=；tan(a P)= ；要点诠释：1公式的适用条件(定义域)：公式、对任意实数a,B都成立，这表明、是R上的恒等式;兀公式中a,P
2、e R且a、卩、a0z + k兀(kg Z)22. 正向用公式、，能把和差角(a 卩)的弦函数表示成单角a,B的弦函数；反向用，能把右边 结构复杂的展开式化简为和差角(a P)的弦函数.公式正向用是用单角的正切值表示和差角(a P)的 正切值化简.要点二：二倍角公式1.在两角和的三角函数公式S p , C P , T p中，当a二卩时，就可得到二倍角的三角函数公式+ P+ P+ PS , C ,T ：2 2 2sin 2a = (S )；2C0s2a = (C )；2atan 2a = (T ).2a要点诠释：兀 k兀兀1. 在公式S , C中，角a没有限制，但公式T 0中，只有当a-+和a
3、+ k兀(k g Z)时2a 2a2a a422才成立；2. 余弦的二倍角公式有三种：cos2a = cos2 a 一 sin2 a = 2cos2 a 一 1 = 1 - 2sin2 a ；解题对应 根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用a a3a3. 二倍角公式不仅限于2a和a的二倍的形式，其它如4a是2a的二倍，万是-的一倍，3a是可 的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公 式的关键要点三：二倍角公式的推论升幕公式：1 + cos 2a = 2cos2 a，1 - cos 2a = 2si
4、n 2 a1降幕公式：sin a cos a = sin 2a ；2.1 一 cos 2asin 2 a =21 + cos 2acos2 a =2要点四：三角恒等变换的基本题型 三角式的化简、求值、证明是三角恒等变换的基本题型：1. 三角函数式的化简(1) 常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角；三角公 式的逆用等.(2)化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量 使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.2. 三角函数的求值类型有三类(1) 给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去
5、 非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；(2) 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”， 如a= (a +卩丿-卩,2a = (a +卩丿+ (a-卩丿等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围 的讨论；(3) 给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数 的单调性求得角.3. 三角等式的证明(1) 三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等 方法，使等式两端化“异”为“同”；(2) 三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，
6、采用代入法、消参法 或分析法进行证明.【典型例题】 类型一：正用公式例11）2）已知 sin a 二一 2, a g求sin2a的值； 求cos（a 卩）的值.(3 )1（3兀小）兀，一兀,cos 0 = , 0 g，2兀1 2 J31 2丿【思路点拨】（1）由题意知，cosa=-，然后利用二倍角公式求得sin2a的值.（2）求得2/2sin 0 =- 耆，然后利用两角差的余弦公式可求解.、.4韻4迈-頁【答案】（1）（2）9解析】(1) Q sin a二一2, ae兀，3 I 23兀、2丿得躬,得 cos a = 一 ，3_ 4薦-9(2)(75)2XX3丿一 丁丿sin 2a = 2sin
7、 a cos a =1(2)q cos吐 3,卩宁,2兀,得sin 0二2 丿cos (a - 0)= cosacos0 +sinasin051x- + 33举一反三：【变式1】求值：sinl5 =； sin75 = ； cos75 =答案】 6 一” 2 6 + 2 氏 - 7 2J6-逅【解析】sin15 = sin(60 -45) = sin 60 cos 45 - cos 60 sin 45=4sin75 = sin(30 + 45) = sin30cos45 + cos30sin45 =用 J2 ,cos 75 = cos(30 + 45) = cos30 cos 45 - sin
8、30 sin 45 = 一迈【变式2】已知tan a和tan 0是方程2x2 + x-6二0的两个根，求tan（a + P）的值.【答案】-881【解析】由韦达定理，得tan a + tan P ，tan a - tan P 3 ,2tan a + tan P 1 tan(a + P)1 tan a - tan P 8例 2.已知 n VBVaV -n，cos (a B )2412 3=一，sin (a + B )=-，求 sin2 a 的值.13 5【思路点拨】因为2a = (a + B) + (a B),分别求出a + B和a P的正弦值和余弦值，利用两角和的正弦公式可求解56【答案】乃6
9、5【解析】n3n3n.VBVaV.nVa+BV,242312 sin( a+B )= 匚，cos(a-B) =51345.cos( a+B )=一 一，sin(a-B) =51356.sin2a=sin(a+B) + (aB)=疋.65n0 Va BV 4总结升华】（1）解题中应用了 2a二（a + 卩）+ （a-卩）式子的变换，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会,常见的变换技巧还有 P (a + P) a, 2P = (a + P) (a P), 2a + P = (a + P) + a 等.（2）已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系
10、式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等 .对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.举一反三：3【变式1】已知sina 5，a是第二象限角，且tan（a + B） 1，求tan2P的值.7【答案】-石24 33 【解析】由sina =二且a是第二象限角，得tana ， 54(a + P)a P , tan P-tan(a + P) a - tan(a +卩)；tan a 7 .1+ tan(a + P) tana上昨-岛24兀4兀兀【变式2】已知cos（0 - 一）=- 一且一 0兀求cos （20 + ）的值.1252123172【答案】肓
11、兀兀、兀【解析】角的关系式：20+= 2（0-） + 丁（和差与倍半的综合关系）12124/ cos（0 一 ）=-，且卫 0兀，.：sin（0 一 ）=1252125sin 2（0 一 ） = 2 sin（0 一 ） cos（0 一 ） = 一 2412121225兀兀7cos 2（0 - ） = 2cos2（0 - ） 一 1 =-121225. cos （20+12）.二 cos2（e -12） + 却=斗cos 2（e -卷）-sin 2（0 -存忑丄+兰）二連2 252550类型二：逆用公式例 3.求值：血24。cos36+ cos24。cos54。； 2co洛+宁咗；1+ tan
12、750（3） t 75 ；1 - tan 750 【思路点拨】题目中涉及到的角并非特殊角，而从式子的结构出发应逆用和角公式等先化简再计算（1）若将式中的cos54改写为sin36 则恰为两角和的正弦； （2）中将其转化为特殊角的三角函数值，然后可以逆用公式；（3）利用 tan45 = 1 将 1 + tan15视为 tan45+ tan15，将 1 一tan15视为 1 一tan45tan15，则式 子恰为两角和的正切._【答案】（1）（2）（3）亍解析】原式=sin24。cos36。+ cos24。sW sin（24。+ 36。）厘2原式-心。罰5。+ cos30 s sin（30 + 15
13、。）忑2tan 45o + tan15o存 “，（3）原式=tan（45o + 15o） = tan60o =、：3 .1 一 tan 45o tan15o【总结升华】把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆 用公式”辅助角公式：a sin a + b cosa = ：a2 + b2 sin(a+p)，其中角在公式变形过程中自然确定. 举一反三：【变式1】求值：(1) sinl64o - sin 224。+ sin 254。- sin314。；(2) sin 200 cos1 100 + cos 1 600 sin 700 ；3)sin347。- cos148。+ sin 77。- cos58。答案】( 1) 1/2( 2)1( 3) 1/2解析】1)1原式=一 sin16。- sin 44。+ cos16。- cos 44。= cos(16。+ 44。)=22)原式二-sin 2Oo cos7Oo - cos 2Oo sin 7Oo = -sin(2Oo
