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1、(2010临沂)如图1,已知矩形ABED,点C是边DE的中点,且AB=2AD(1)判断ABC的形状,并说明理由;(2)保持图1中ABC固定不变,绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中(当垂线段AD、BE在直线MN的同侧),试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?并给予证明;(3)保持图2中ABC固定不变,继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置(当垂线段AD、BE在直线MN的异侧)试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?并给予证明解:(1)ABC是等腰直角三角形理由如下:在ADC与BEC中,AD=BE,D=E=90,DC=EC,ADCBEC,AC=BC,DCA=ECBAB=2A
2、D=DE,DC=CE,AD=DC,DCA=45,(2)DE=AD+BE理由如下:在ACD与CBE中,ACD=CBE=90-BCE,ADC=BEC=90,AC=BC,ACDCBE,AD=CE,DC=EBDC-CE=BE-AD,即DE=AD+BE(3)DE=BE+AD理由如下:在ACD与CBE中,ACD=CBE=90-BCE,ADC=BEC=90,AC=BC,ACDCBE,AD=CE,DC=EBDC+CE=BE+AD,即DE=BE-ADECB=45,ACB=180-DCA-ECB=90ABC是等腰直角三角形(2011无锡)如图,已知O(0,0)、A(4,0)、B(4,3)动点P从O点出发,以每秒3
3、个单位的速度,沿OAB的边0A、AB、B0作匀速运动;动直线l从AB位置出发,以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动若它们同时出发,运动的时间为t秒,当点P运动到O时,它们都停止运动(1)当P在线段OA上运动时,求直线l与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围;(2)当P在线段AB上运动时,设直线l分别与OA、OB交于C、D,试问:四边形CPBD是否可能为菱形?若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由,并说明如何改变直线l的出发时间,使得四边形CPBD会是菱形解:(1)当P在线段OA上运动时,OP=3t,AC=t,P与直线l相交时, 4-(3t+t)1(3t+t)-41,解得 34
4、t 54;(2)四边形CPBD不可能为菱形依题意,得AC=t,OC=4-t,PA=3t-4,PB=7-3t,CDAB, CDAB= OCOA,即 CD3= 4-t4,解得CD= 34(4-t),由菱形的性质,得CD=PB,即 34(4-t)=7-3t,解得t= 169,又当四边形CPBD为菱形时,PC=PB=7-3t,当t= 169时,代入PA2+AC2=(3t-4)2+t2= 40081,PC2=(7-3t)2= 259,PA2+AC2PC2,就不能构成菱形设直线l比P点迟a秒出发,则AC=t-a,OC=4-t+a,由CDAB,得CD= 34(4-t+a),由CD=PB,得 34(4-t+a
5、)=7-3t,解得t= 16-3a9,PCOB,PC=CD,得 PCOB= APAB,即ABPC=OBAP,3 34(4-t+a)=5(3t-4),解得t= 9a+11669,则 16-3a9= 9a+11669,解得a= 524,即直线l比P点迟 524秒出发(2011河北)如图1至图4中,两平行线AB、CD间的距离均为6,点M为AB上一定点思考如图1,圆心为0的半圆形纸片在AB,CD之间(包括AB,CD),其直径MN在AB上,MN=8,点P为半圆上一点,设MOP=当= 90度时,点P到CD的距离最小,最小值为 2探究一在图1的基础上,以点M为旋转中心,在AB,CD 之间顺时针旋转该半圆形纸
6、片,直到不能再转动为止,如图2,得到最大旋转角BMO= 30度,此时点N到CD的距离是 2探究二将如图1中的扇形纸片NOP按下面对的要求剪掉,使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转(1)如图3,当=60时,求在旋转过程中,点P到CD的最小距离,并请指出旋转角BMO的最大值;(2)如图4,在扇形纸片MOP旋转过程中,要保证点P能落在直线CD上,请确定的取值范围 解:思考 90,2.探究一 30,2.探究二、由已知得与的距离为4,当时,点到的最大距离是4,从而点到的最小距离为.当扇形在之间旋转到不能再转时,与相切,此时旋转角最大,的最大值为90.如图4,由探究一可知,点是与的切点时,达到
7、最大,即.此时,延长交于点,最大值为.如图5,当点在上且与距离最小时,达到最小,连接,作于点,由垂径定理,得,在中,=4,最小为.的取值范围是. 我市某县为创建省级文明卫生城市,计划将城市道路两旁的人行道进行改造经调查知:若该工程由甲工程队单独做恰好可在规定时间内完成;若该工程由乙工程队单独完成,则所需天数是规定时间的1.5倍如果甲、乙两工程队合做20天后,那么余下的工程由甲工程队单独来做还需10天才能完成(1)问该县要求完成这项工程规定的时间是多少天?(2)已知甲工程队做一天需付给工资4万元,乙工程队做一天需付给工资3万元现该工程在甲、乙两工程队合做5天后,因甲工程队另有任务,余下的工程由乙
8、工程队单独来完成,该县准备了工程工资款170万元,请问该县准备的工程工资款是否够用?如图,直线y=x+n与x轴交于点A,与y轴交于点B,与双曲线 y=4x在第一象限内交于点C(m,4)(1)求m和n的值;(2)若将直线AB绕点A顺时针旋转15得到直线l,求直线l的解析式解:(1) y=4x经过C(m,4),m=1(11分)点C的坐标为(1,4)直线y=x+n经过点C(1,4),n=3(2分)(2)依题意,可得直线AB的解析式为y=x+3直线y=x+3与x轴交点为A(-3,0),与y轴交点为B(0,3)OA=OBBAO=45,设直线l与y轴相交于D,依题意,可得BAD=15DAO=30(3分)在
9、AOD中,AOD=90,DAO=30=ODOA=33 OD=3点D的坐标为 (0,3)(4分)设直线l的解析式为y=kx+b(k0) b=3-3k+b=0 k=33b=3直线l的解析式为 y=33x+3(5分)(2009江西)某天,小明来到体育馆看球赛,进场时,发现门票还在家里,此时离比赛开始还有25分钟,于是立即步行回家取票同时,他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票,两人在途中相遇,相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆下图中线段AB、OB分别表示父、子俩送票、取票过程中,离体育馆的路程S(米)与所用时间t(分钟)之间的函数关系结合图象解答下列问题(假设骑自行车和步行的速度始终保持
10、不变):(1)求点B的坐标和AB所在直线的函数关系式;(2)小明能否在比赛开始前到达体育馆?解:(1)设小明步行的速度为x米/分, 则小明父亲骑车的速度为3x米/分, 依题意得: 15x+45x=3600 解之,得 x=60 两人相遇处离体育馆的距离为6015=900米 点B的坐标为(15,900) 设直线AB的函数关系式为s=kt+b(k0) 由题意得: 直线AB经过点A(0,3600)、B(15,900),得: b=3600 , 15k+b=900 解之,得 k=-180 , b=3600 直线AB的函数关系式为: S=-180x+3600 (2)在S=-180x+3600 中, 设S=0
11、, 得 0=-180x+3600 解之得:t=20 即小明的父亲从出发到体育馆花费的时间为20分钟, 小明取票的时间也为20分钟 2025, 小明能在比赛开始前到达体育馆如图,已知ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点。(1)如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上有C点向A点运动。若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,BPD与CQP是否全等,请说明理由;若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使BPD与CQP全等?(2)若点Q以中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆
12、时针沿ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇?解:(1) 是全等的,理由如下:ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,D为AB的中点所以ABC=ACB,BD=AB/2=5cm,BP=QC=3cm,PC=8-3=5cm,根据SAS全等BPDCQP 这样就不能像里那种全等了,需要加快Q的速度,让两个三角形轴对称的相等,即使,Q的速度=5/(4/3)=15/4=3.75cm/s,(2)这里就是追击问题了,二者相距10+10=20cm,速度差=3.75-3=0.75m/s,所用时间=20/0.75=80/326.67s,此时,点P运动的路程=380/3=80cm,刚
13、好接近3圈,此时,点在边AB上. 阅读材料:如图26-,过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在ABC内部的线段的长度叫ABC的“铅垂高”(h)我们可得出一种计算三角形面积的新方法:,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半解答下列问题:如图26-,抛物线顶点坐标为点(1,4),交轴于点(3,0),交轴于点(1)求抛物线和直线的解析式;(2)求的铅垂高及;(3)设点是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点,使,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由 解:(1)设抛物线的解析式为:把A(3,0)代入解析式求得所以设直线AB的解析式为:由求得B点的坐标为 解得:所以(2)因为C点坐标为(1,4)所以当x时,y14,y22所以CD4-22(平方单位)把,代入中(3)假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x,PAB的铅垂高为h,则由SPAB=SCAB 得:化简得: 解得,将代入中,解得P点坐标为如图,AB、AC分别是O的直径和弦,D是劣弧AC的中点,DEAB于H,交O于点E,交AC于点F(1)图中有哪些必相等的线段?(要求:不要标注其它字母,找结论的过程中所作的辅助线不能出现