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1、最新版教学资料数学三角形四边形有关的证明计算 一、证明题典例精讲分为三大块： 1圆的基本性质，2与圆有关的位置关系，3与圆有关的计算圆的基本性质 圆的基本性质在近七年河北中考中，除了年未考查外，每年设置12道题，题型包括选择题，填空题，解答题。本节常务的知识点有：（1）垂径定理及其推论；(2)圆周角定理及其推论（一）圆的基本性质 一、选择题例题精讲1. (龙东中考)如图，O的半径是2，AB是O的弦，点P是弦AB上的动点，且1OP2，则弦AB所对的圆周角的度数是( )A60 B120 C60或120 D30或150【答案】C【解析】当点P位于AB的中点时，如图，由垂径定理可得OPAB，此时OP最
2、短，1OP2，OP1；当点P位于点A或点B时，OPOAOB2，sinOABsinOBA，OABOBA30，AOB120，AEBAOB60，EF180，F120，即弦AB所对的圆周角的度数为60或120故选C2. （河北中考）如图，AC，BE是O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）AABE BACF CABD DADE【答案】B【解析】因为A，B，E 三点在O上，所以O是ABE的外接圆圆心；由于F不在O上，所以O不是ACF的外接圆的圆心；因为A，B，D三点在O上，所以O是ABD的外接圆圆心；因为A，D，E三点在O上，所以O是ADE的外接圆圆心故选B针对性训练1.在O
3、中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（）A30 B45 C60 D902. 如图，将O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P 是优弧AMB上一点，则APB 的度数为（ ）A45 B30 C75 D60 3. 如图，ABD的三个顶点在O上，AB是直径，点C在O上，且ABD=52，则BCD等于( )A.32B.38C.52D.664. 点O是ABC 的外心，若BOC80，则BAC的度数为( ). A.40 B.100 C.40或140 D.40或1005.如图，四边形ABCD内接于O，已知ADC=140，则AOC的大小是（ ）A80 B100 C60 D40【答
4、案】1-5 DDBCA二、填空题例题精讲1.（ 河北中考）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=_.【答案】【解析】连接OC，AB是O的直径，弦CDAB于点E，CE=3，,BE=.故答案为.2.（娄底中考）如图，在O中，AB为直径，CD为弦，已知ACD=40，则BAD=_度.【答案】50【解析】由圆周角定理知B=ACD=40，又由AB为O的直径，知ADB=90，根据直角三角形两锐角互余，求得BAD=9040=50，故答案为50.针对性训练1.如图，在O中，OAB45，圆心O到弦AB的距离OE2 cm,则弦AB的长为cm2. 如图，AB是O的直径，点C是O上的一点
5、，若BC6，AB10，ODBC于点D，则OD的长为_3.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点在半圆上，点，的读数分别为100，150 ，则的大小为_度.4.如图，O的内接四边形ABCD中，A115，则BOD 【答案】14，分别为4，4，25，130，三、解答题例题精讲1. （河南中考）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD，PO.（1）求证：CDPPOB；（2）填空：若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为 ；连接OD，当PBA的度数为 时，四边形BPDO为菱形.证明：(1)O，P，D分别为AB，B
6、C，AC的中点，DPOB，且DP=OB，CDOP，且CD=OP.CPD=PBO.在CDP和POB中，所以CDPPOB（SAS） .解：(2) 4 60.提示：D，P，O分别为AC，BC，AB的中点，DPAO，POAD，四边形AOPD为平行四边形，如图，过点P作PGAB，垂足为G，当PG取最大值时，平行四边形AOPD为正方形，=4；若四边形BPDO为菱形，则BP=OB=2，OP=OB，OPB为等边三角形，当PBA=60时，四边形BPDO为菱形.2. （2016咸宁中考）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形理解：（1）如图1，已知A，B，
7、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是O的直径，ACBD求证：四边形ABCD是对等四边形；（3）如图3，在RtPBC中，PCB90，BC11，tanPBC，点A在BP边上，且AB13用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长解：（1）如图1所示（画2个即可，答案不唯一）证明：（2）如图2，连接AC，BDAB是O的直径，ADBACB90在RtADB和RtACB中， ，RtADBRtBCAADBC又AB是O的直径，ABCD四边形ABCD是对等四边形解：（3
8、）如图3，点D的位置如图所示.若CDAB，此时点D在D1的位置，CD1AB13；若ADBC11，此时点D在D2，D3的位置，AD2AD3BC11，过点A分别作AEBC，AFPC，垂足为E，F，设BEx，tanPBC，AE在RtABE中，AE2BE2AB2，即，解得x15，x2=5（舍去）BE5，AE12CEBCBE6由四边形AECF为矩形，可得AFCE6，CFAE12，在RtAFD2中，综上所述，CD的长度为13，或针对性训练1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）（4分）（2）若的中点C到弦AB的距离为m，AB=80m，求所在圆
9、的半径（4分）2. 如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点EF是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作O，交边DC于D，G两点，AD分别与EF，GF交于I，H两点（1）求FDE的度数；（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；（3）当G为线段DC的中点时，求证：DF=FI；设AC=2m，BD=2n，求O的面积与菱形ABCD的面积之比答案1.解：（1）如图1，图1点O为所求.（2）连接OA，AB，OC交AB于D，如图2，C为的中点，OCAB，AD=BD=AB=40，设O的半径为r，则OA=r，OD=OCCD=r20，在RtOAD中，OA2=OD2+AD2，r2=(r2
10、0)2+402，解得r=50，即所在圆的半径是50m图22.解：（1）EF为O的直径，FDE=90（2）四边形FACD为平行四边形理由如下：四边形ABCD为菱形， ABCD，ACBD， AEB=90又FDE=90，ACFD四边形FACD为平行四边形（3）如图，连接GE在RtDEC中，G为CD的中点，EG=DG， =，1=2又EF为O的直径，FGE=90，FGEGG为DC的中点，E为AC的中点，GE为DAC的中位线，EGADFGAD，FHD=FHI=90由DHFIHF，可得FD=FI菱形ABCD，AE=CE=m，BE=DE=n，四边形FACD为平行四边形，FD=AC=2m=FIFDAC，3=8又3=4=7，7=8EI=EA=m在RtFDE中，FE=FD+DE，（3m）=（2m）+n，解得n=m=m，=2m2n=2mn=2m：=m：2m=
