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1、第一章 函数与极限1.1 映射与函数1.直积或笛卡儿乘积: 设A，B是任意两个集合，.2.两个闭区间的直积表示平面上的矩形区域. 例如.3.点是数轴上一点，点的邻域: 或 或 记为.4.点的去心邻域:或 或 记为.5.点的左邻域:.6.点的右邻域:.7.函数是实数集到实数集的映射.单值函数是指对于定义域内的任何实数，在值域中有唯一的实数与之对应，记作 ， ，其中称为自变量，称为因变量. 8.函数的自然定义域: 通常指使得函数算式有意义的一切实数组成的集合.9.绝对值函数: 10.符号函数: 11.取整函数: .其中表示不超过的最大整数. 例如，.解: 令，得或，即定义域为 .练习1.求函数的定
2、义域. .解: 令得即定义域为.练习2.求函数的定义域.解: 令，得或，即定义域为或或 . 12.函数的有界性: 设的定义域为，数集.如果存在数，使得，对任一都成立，则称在上有上界，而为在上的一个上界.如果存在数，使得，对任一都成立，则称在上有下界，为在上的一个下界.如果存在正数，使得，对任一都成立，则称在上有界.如果对于任何正数，总存在，使得，则称在上无界.13.函数的单调性: 设的定义域为，区间.如果对于区间上任意两点及，当时，恒有，则称在区间上是单调增加的.如果对于区间上任意两点及，当时，恒有，则称在区间上是单调减少的.14.函数的奇偶性: 设函数的定义域关于原点对称，.如果对于任一，恒
3、成立，则称为奇函数.如果对于任一，恒成立，则称为偶函数.15.函数的定义域为，值域为，如果是一一映射，则存在逆映射: ，即对于任意，有唯一的，使得，称为的反函数，记作， . 16.设函数的定义域为，值域为; 函数的定义域为，值域为，且，则由下式确定的函数，称为由与构成的复合函数. 自变量，中间变量，因变量.解：.，.17.基本初等函数: .幂函数 （为实数）.指数函数 ，特例.对数函数，特例.三角函数，.反三角函数， .18.初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.19.双曲函数双曲正弦.双曲余弦.双曲正切.1.2
4、 数列的极限1.如果按照某一法则，对每个，对应着一个确定的数，这些实数按照下标从小到大排列得到的一个序列 叫做数列，简记为数列，数列中的每一个数叫做数列的项，第项叫做数列的一般项. 一般地，数列可看作自变量为正整数的函数: ，.当自变量依次取1，2，3，一切正整数时，对应的函数值就排成数列.例如. ; ; ; ;2.深刻理解数列极限的概念.当无限增大时(即时)，对应的项无限接近于某个确定的数值，称常数是数列的极限. 无限接近于是什么含意? 考察数列当时，无限接近于，也就是说与的距离要多小就有多小. 比如说:给定，在第项以后，即时， .给定，在第项以后，即时， .给定很小正数，在第项以后，即时，
5、 .3.数列极限的定义: 设为一数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，不等式都成立，那么称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为或.3.对于，正整数，当时，则称数列以为极限，记为.4.数列不以为极限的定义: ，对于正整数，使得，则称数列不以为极限.证: 等价于.对于，要使 只要，取，当时，所以，故.5.有界数列: 对于数列，如果存在正数，使得对于任意，不等式都成立，那么称数列是有界的.无界数列: 对于数列，如果对于任意正数，存在正整数，使得不等式，成立，那么称数列是无界的. 6.子数列: 在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序,这样
6、得到的数列称为原数列的子数列. 7.收敛数列的性质. 唯一性: 如果数列收敛，那么它的极限唯一.有界性: 如果数列收敛，那么数列一定有界. 保号性: 如果，且 (或)，那末，当时，都有 (或). 推论: 如果数列从某项起有 (或)，且，那末 (或). .数列与子数列的关系: 若收敛，则也收敛，且有相同的极限；若收敛，则不一定收敛.证: 由于有界，所以正数，对于，不等式都成立.对于，由于，所以正整数，使得当时， ，故当时，从而.证：对于， 由于，所以正整数，使得当时，.又由于，所以正整数，使得当时，. 取，当时，所以.1.3 函数的极限1.自变量的六种变化趋势. : ，任意地接近于有限值. :
7、，任意地接近于有限值. : ，任意地接近于有限值. : 沿着数轴负向无限远离原点. : 沿着数轴正向无限远离原点. : 的绝对值无限增大.2.函数当时的极限: 设函数在点的某一去心邻域内有定义. 如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得当时，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或.证: 对于，要使 ，取，当时，所以.3.函数当时的左极限: 设函数在点的某一左邻域内有定义. 对于，当时，则或.4.函数当时的右极限: 设函数在点的某一右邻域内有定义. 对于，当时，则或. 5.函数当时的极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在且相等，即 .解:
8、，.由于，所以.，.由于，所以不存在练习1.设函数，则为. (A) . (B) . (C) .(D)不存在. D 6.函数当时的极限: 设函数在大于某一正数时有定义. 如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得当时，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或.7.函数当时的极限: 设函数在小于某一负数时有定义. 对于，当时，则.8.函数当时的极限: 设函数在大于某一正数时有定义. 对于，当时，则.9.函数当时的极限存在的充分必要条件是当时极限及当时极限都存在且相等，即.9.水平渐近线: 若 或 或 ，则称直线是函数图形的水平渐近线. 10.函数极限的
9、性质. 唯一性: 若存在，此极限唯一. 局部有界性: 若，那末存在常数和，当时，有. 局部保号性: 若，且（或），那末存在，当时，有（或）.若（），那末存在点的某一去心邻域内，使得.推论: 若在点的某一去心邻域内（），且，那末（）.1.4 无穷小与无穷大 1.无穷小: 若（或），则称为当（或）时的无穷小.证: 对于，要使，取，当时，所以为当时的无穷小. 2.极限与无穷小的关系:.其中为无穷小. 3.无穷大: 设函数在点的某一去心邻域内有定义. 如果对于，当时，总有，那么称为当时的无穷大，记作.3.无穷大: 设函数在大于某一正数时有定义. 如果对于，当时，总有，那么称为当时的无穷大，记作.证:
10、对于，要使，而 ，只要 ，取，当时，有，所以为当的无穷大. 取，当时，.练习1.若，则下列式子成立的是(A) .(B) .(C) .(D) . D 4.铅直渐近线: 如果或 或 ，那么称直线是函数图形的铅直渐近线.解：由于，所以是水平渐近线.由于，所以，都是铅直渐近线. 5.无穷小与无穷大的关系: 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；如果为无穷小，且，则为无穷大.1.5 极限运算法则1.无穷小的性质: 有限个无穷小的和也是无穷小. .有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2.有限个无穷小的乘积也是无穷小. .解: 由于当时是无穷小，而是有界
11、变量，所以是当时的无穷小，故.2.极限的四则运算:，.推论1: 为常数，. 推论2: 为正整数，. . .3.极限的单调性: 若，而，则.4.有理整函数(多项式)、有理分式函数当的极限:.多项式，.例1.有理分式，其中、是多项式，.例2.例3.例4.求. 解:，.5.有理分式函数当的极限:例5.例6. ().例7.下列数列中收敛的是. (A) . (B) . (C) (D) C 例8. 设，则有(A) ，.(B) ，.(C) ，.(D) ，. C 例9. 设，则有(A) ，.(B) ，.(C) ，.(D) ，. C 例10. 已知，求，的值. 解: 一方面，.另一方面，.所以，即. 故.从而，
12、得，. 6.复合函数的极限运算法则: 设函数是由函数与复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，且存在，当时，有，则. 例如.1.6 极限存在准则 两个重要极限1.准则I 如果数列、及满足: ， ，那么.准则I 如果 ， ，那么. 解:原式，原式，而，所以. 2.重要极限I: . 例1.例2.例3.例4.例5.求极限 (，为非零整数) .解: .3.单调数列: .如果数列满足条件:，则称数列单调增加.如果数列满足条件:，则称数列单调减少.4.准则II 单调有界数列必有极限.例6.利用极限存在准则证明数列，的极限存在并求此极限. 证: 记数列的通项为，则. 有界性: 当时，. 假设当时，当时，所以对任意的有，是显然的，故数列有界. 单调性: ，所以数列单调增加. 由可知数列的极限存在. 设此极限为，则 ， ，得. 4.重要极限II: ，.例7.例8.例9.例10.1.7 无穷小的比较1.无穷小的比较: 设、都是无穷小，且. 如果，就说是比高阶的无穷小，记作. 如果，就说是比低阶
