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1、(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1函数yf(x)在区间(2,2)上的图象是连续的，且方程f(x)0在(2,2)上仅有一个实根0，则f(1)f(1)的值()A大于0B小于0C等于0 D无法确定解析：由题意，知f(x)在(1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，f(1)f(1)符号不定，如f(x)x2，f(x)x.答案：D2设函数f(x)xlnx(x0)，则yf(x)()A在区间(，1)，(1，e)内均有零点B在区间(，1)，(1，e)内均无零点C在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间(，1)内无零点，在区间(1，
2、e)内有零点解析：函数f(x)，x(3，)时，yf(x)单调递增；x(0,3)时，yf(x)单调递减而01e3，又f()10，f(1)0，f(e)10，在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点答案：D3已知函数f(x)则函数f(x)的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与x轴有三个交点，即函数的零点有3个答案：C4若函数f(x)在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分()A5次 B6次C7次 D8次解析：设对区间(1,2)至少二等分n次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为，第2次二等分后区
3、间长为，第3次二等分后区间长为，第n次二等分后区间长为.依题意得log2100.由于6log21007，n7，即n7为所求答案：C5f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)0.则方程f(x)0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()A5 B4C3 D2解析：f(x)是定义在R上的偶函数，且周期是3，f(2)0，f(2)f(5)f(2)f(1)f(4)0.答案：B6已知函数f(x)()xlog2x，若实数x0是方程f(x)0的解，且0x1x0，则f(x1)()A恒为正值 B等于0C恒为负值 D不大于0解析：设f1(x)()x，f2(x)log2x，画出f1(x)和f2(x)的图象(如
4、图)，易知当0x1f2(x1)，所以f(x1)f1(x1)f2(x1)0，即f(x1)的值恒为正值答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7(2011厦门质检)若函数f(x)ex2x6(e2.718)的零点属于区间(n，n1)(nZ)，则n_.解析：可估算两相邻自然数的函数值，f(1)e40，从而可知函数f(x)的零点位于区间(1,2)内，故n1.答案：18若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_解析：令g(x)ax(a0，且a1)，h(x)xa，分0a1，a1两种情况在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f(x)axxa有两个不同的零点，
5、则函数g(x)，h(x)的图象有两个不同的交点根据画出的图象只有当a1时符合题目要求答案：(1，)9已知函数f(x)4xm2x1有且只有一个零点，则实数m的值为_解析：由题知：方程4xm2x10只有一个零点令2xt(t0)，方程t2mt10只有一个正根，由图象可知m2.答案：2三、解答题(共3小题，满分35分)10已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0(0，)，使f(x0)x0.证明：令g(x)f(x)x.g(0)，g()f()，g(0)g()0.又函数g(x)在0，上连续，所以存在x0(0，)，使g(x0)0.即f(x0)x0.11判断方程3xx20的负实数根的个数，并说明理由解：设f(x
6、)3xx2，f(1)0，又函数f(x)的图象在1,0上是连续不断的，函数f(x)在(1,0)内有零点又在(，0)上，函数y3x递增，yx2递减，f(x)在(，0)上是单调递增的，f(x)在(1,0)内只有一个零点因此方程3xx20只有一个负实数根12若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值.(1)求函数的解析式；(2)若关于x的方程f(x)k有三个零点，求实数k的取值范围解：由题意可知f(x)3ax2b，(1)于是解得故所求的解析式为f(x)x34x4.(2)由(1)可知f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0，得x2，或x2.当x变化时f(x)、f(x)的变化情况如下表所示：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递增单调递减单调递增因此，当x2时，f(x)有极大值；当x2时，f(x)有极小值.所以函数的大致图象如图故实数k的取值范围是k.
