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1、 函数的奇偶性与周期性一、知识梳理1.关于函数的奇偶性的定义：对于函数的定义域内任意一个： 是偶函数；奇函数；2.函数的奇偶性的几个性质、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；、可逆性： 是偶函数；奇函数；、等价性：；、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；、为奇函数，定义域为，若0则必有；、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。3.函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、 相等，判断步骤如下：
2、、 定义域是否关于原点对称；、 数量关系哪个成立；第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则,在一个关于原点对称的定义域上，奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；奇函数奇函数=偶函数；偶函数偶函数=偶函数4.函数周期性的定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。5.关于周期函数的几种判定方法、对于函数定义域中的任意的，总存在一个非零常数T，使得恒成立，则T是函数的一个周期。、若函数满足，则是它的一个周期、 若函数满足，则是它的一个周期、 若函数满足，则是它的一个周期、 若函数满足，则是它的一个周期
3、、 若函数满足，则是它的一个周期二、例题解析例1 判断下列函数的奇偶性（1） （2）解:（1）函数的定义域，关于原点对称 是一个奇函数 （2）函数的定义域，关于原点对称解法1： 所以为偶函数解法2：先化简，显然为偶函数。【总结】判断函数的奇偶性应先求定义域。变式 判断函数的奇偶性例2 已知奇函数是定义在（-2,2）上的减函数，若，求实数的取值范围。解： 是定义在（-2,2）上的奇函数由，得 是定义在（-2,2）上的减函数 解得实数的取值范围为变式 已知定义域为R的函数是奇函数.（1）求的值.(2)若对任意的恒成立，求的取值范围。例3 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(,0)内单调递
4、增，f(2a2+a+1)f(3a22a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.解：设0x1x2,则x2x10，f(x)在区间(,0)内单调递增，f(x2)f(x1),f(x)为偶函数，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)f(x1).f(x)在(0，+)内单调递减.由f(2a2+a+1)3a22a+1.解之，得0a3.又a23a+1=(a)2.函数y=()的单调减区间是，+结合0a3,得函数y=()的单调递减区间为，3).例4 已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y
5、)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0x2x11x2x1,01,由题意知f()0，即f(x2)f(x1).f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.f(x)在(1，1)上为减函数.【总结】对于(1)，获得f(0)的值进而取x=y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点.例5 设函数的定义域关于原点对称，且满足；存在正常数使得。求证：（1）是奇函数（2）是周期为4的周期函数。解：（1）令，则是奇函数（2） 是周期为4的周期函数【总结】证函数的奇偶性和周期性，通常是用定义加以验证。变式 1.若定义在R上的函数满足：，则函数的周期为 2.已知函数对任意的都有，则，求证：是周期函数，并求出它的一个周期。4
