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1、 函数的奇偶性与周期性一、知识梳理1.关于函数的奇偶性的定义:对于函数的定义域内任意一个: 是偶函数;奇函数;2.函数的奇偶性的几个性质、对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称;、整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个都必须成立;、可逆性: 是偶函数;奇函数;、等价性:;、奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于轴对称;、为奇函数,定义域为,若0则必有;、可分性:根据函数奇偶性可将函数分类为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。3.函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法:第一种方法:利用奇、偶函数的定义,主要考查是否与、 相等,判断步骤如下:
2、、 定义域是否关于原点对称;、 数量关系哪个成立;第二种方法:利用一些已知函数的奇偶性及下列准则,在一个关于原点对称的定义域上,奇函数+奇函数=奇函数;偶函数+偶函数=偶函数;奇函数奇函数=偶函数;偶函数偶函数=偶函数4.函数周期性的定义:对于函数,如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个值,都满足,那么函数就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。5.关于周期函数的几种判定方法、对于函数定义域中的任意的,总存在一个非零常数T,使得恒成立,则T是函数的一个周期。、若函数满足,则是它的一个周期、 若函数满足,则是它的一个周期、 若函数满足,则是它的一个周期、 若函数满足,则是它的一个周期
3、、 若函数满足,则是它的一个周期二、例题解析例1 判断下列函数的奇偶性(1) (2)解:(1)函数的定义域,关于原点对称 是一个奇函数 (2)函数的定义域,关于原点对称解法1: 所以为偶函数解法2:先化简,显然为偶函数。【总结】判断函数的奇偶性应先求定义域。变式 判断函数的奇偶性例2 已知奇函数是定义在(-2,2)上的减函数,若,求实数的取值范围。解: 是定义在(-2,2)上的奇函数由,得 是定义在(-2,2)上的减函数 解得实数的取值范围为变式 已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求的值.(2)若对任意的恒成立,求的取值范围。例3 设函数f(x)是定义在R上的偶函数,并在区间(,0)内单调递
4、增,f(2a2+a+1)f(3a22a+1).求a的取值范围,并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.解:设0x1x2,则x2x10,f(x)在区间(,0)内单调递增,f(x2)f(x1),f(x)为偶函数,f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)f(x1).f(x)在(0,+)内单调递减.由f(2a2+a+1)3a22a+1.解之,得0a3.又a23a+1=(a)2.函数y=()的单调减区间是,+结合0a3,得函数y=()的单调递减区间为,3).例4 已知函数f(x)在(1,1)上有定义,f()=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y
5、)=f(),试证明:(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(1,1)上单调递减.证明:(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减.令0x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0x1x20,1x1x20,0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0x2x11x2x1,01,由题意知f()0,即f(x2)f(x1).f(x)在(0,1)上为减函数,又f(x)为奇函数且f(0)=0.f(x)在(1,1)上为减函数.【总结】对于(1),获得f(0)的值进而取x=y是解题关键;对于(2),判定的范围是焦点.例5 设函数的定义域关于原点对称,且满足;存在正常数使得。求证:(1)是奇函数(2)是周期为4的周期函数。解:(1)令,则是奇函数(2) 是周期为4的周期函数【总结】证函数的奇偶性和周期性,通常是用定义加以验证。变式 1.若定义在R上的函数满足:,则函数的周期为 2.已知函数对任意的都有,则,求证:是周期函数,并求出它的一个周期。4