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1、幂级数的基本性质小结1对于幂级数， 必然存在一个以展开中心为圆心的圆，在圆内级数收敛，而在圆外级数发散。 这个圆称为该幂级数的收敛圆，圆的半径R称为收敛半径。（ 在收敛圆周上各点幂级数是否收敛，则需要具体情况具体分析。）收敛半径（比值判别法和根值判别法）： ，2. 幂级数在其收敛圆内一致收敛：幂级数在以b为圆心、任何一个略小于收敛圆的闭圆（ 略小于收敛圆的半径）内一致收敛。 3. 幂级数的和函数在其收敛圆内是一解析函数： 幂级数的和函数 在其收敛圆内解析。 因此幂级数在其收敛圆内可以逐项求导至任意阶，同时不改变收敛半径。幂级数的系数与其和函数的n阶导数之间有如下关系： 3. 复变函数的泰勒展开
2、【刘连寿、王正清编著数学物理方法P50-55】(一) 泰勒定理：设函数在以为圆心、为半径的圆内解析，则对于圆内任一点z，函数f(z)能展开成以为中心的幂级数：， ，且展开式为唯一的。证明： 设为圆内的任意一点，作一个圆周（如图）：，使点含于内, 并且在圆周上解析。 由柯西积分公式得： 【注意： 】而 （推广的柯西积分公式） ， 其中 。唯一性：设另有 ， 两边对求阶导数： 。(二) 将解析函数展开成泰勒级数的方法1直接计算展开系数： 2泰勒级数的唯一性使我们可以用任何方便的方法来求泰勒展开系数，而不一定要用来求。例如利用初等函数的泰勒级数展开（特别是，三角函数等的泰勒级数展开）：例1：求在的泰
3、勒展式。解：在复平面上解析，在时的泰勒系数为 ，于是有 。例2：求在的泰勒展开式。解：， 【】 。例3：求在的泰勒展开式。解：令，则 。例4：求在的泰勒展开式。解： ，由于在内一致收敛于， 。例5：求在的泰勒展开式。解： ，当 时， ，在时，级数收敛且，所以如果规定时，就有 。4. 罗朗级数【刘连寿、王正清编著数学物理方法P55-61】泰勒定理告诉我们:如果函数在圆内解析， 在圆内必可展开成幂级数。 如果函数在内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式？罗朗定理告诉我们，如果函数在内有奇点，一般不能展开成幂级数的形式，但有可能能够展开成罗朗级数的形式。（一）罗朗级数的定义和收敛区域
4、1罗朗级数： 在前面讲的幂级数中，幂次均为正，若一个级数既包括正幂项也包含负幂项，即有形式：， 则称为其为以为中心的罗朗级数。 幂级数在解析，而对于罗朗级数，是它的奇点。2罗朗级数的收敛区域将罗朗级数分成两部分：正幂部分： ，罗朗级数的正则或解析部分，负幂部分： ， 称为罗朗级数的主要部分。对于正幂部分，设它的收敛圆为，在内，正幂部分是一个解析函数。 对于负幂部分，可作变换 则负幂部分变为的幂级数：。设它的收敛圆为。 当时，负幂部分是收敛的，且为区域内的解析函数。 当时，由于 ， 不能同时成立，故正幂部分与负幂部分不存在公共收敛区域，从而罗朗级数不存在收敛区域，罗朗级数发散。 当时，正幂部分与
5、负幂部分有公共收敛区域： 圆环. 在此圆环内，罗朗级数是收敛的, 其和为该圆环内的一解析函数。根据上面的讨论, 我们得到一个重要的结论： 罗朗级数如果收敛的话， 其收敛区域必为以展开中心为圆心的一个圆环型区域：. 圆环的外半径由级数的正幂部分决定，内半径由级数的负幂部分决定：, 例. 求罗朗级数的收敛区域。解：正幂部分的收敛区域为以为圆心的圆，其半径为：。 负幂部分的收敛区域为以为圆心的圆外部区域，圆心的半径为：.正幂部分与负幂部分的公共收敛区域为圆环：. （二）圆环内的解析函数的罗朗级数展开罗朗定理：在圆环 内解析的函数必可展开成以为中心的罗朗级数： ， 其中称为罗朗系数， ， ， 是圆环内
6、任一以为圆心的圆周 ，。 （定理的证明从略，不讲）zCR2CR1R1R2z0C 几点说明： （1）在罗朗展开式中，；（2）罗朗级数中，展开中心可能是的奇点，也可能不是奇点；（3）泰勒级数展开可以看作是罗朗级数展开的特例。如果函数在大圆的整个内部都是解析的，根据柯西定理，罗朗级数的负幂部分的展开系数必为零（即，罗朗级数回到泰勒级数。 （4）如果函数只是在圆环内解析，在小圆内存在奇点，则函数只能作罗朗级数展开。罗朗展开的唯一性： 如果函数能够在圆环内展开成罗朗级数，则展开式是唯一的。 罗朗展开的唯一性使我们不一定要用积分来求系数。 常用的罗朗展开方法仍是利用已知级数，不过要注意展开的形式和收敛区域
7、。罗朗定理的证明（略，不讲）：设为内任意取定的一点，总可以找到含于内的两个圆周()和（），使含于圆环内。 因在闭圆环 上解析，由柯西积分公式，得： 对于第一个积分，由泰勒展开定理的证明可知， 利用 ，对于第二个积分，我们考虑: ，当时，上式可展开成一致收敛的级数，两边沿逐项积分，并乘以，得 ，。由复连通区域的柯西定理，可得： ， ，为圆环内任一以为圆心的圆周。， 。唯一性：设在圆环内又可展成下式： 则它在圆环内一致收敛，从而在圆周： 上一致收敛，乘以上的有界函数仍然一致收敛，可以逐项积分：，而（前面的例题），从而： ， 。罗朗展开的唯一性使我们可以用任何方便的方法来求罗朗级数展开系数。最常见的
8、方法是利用简单初等函数的泰勒级数或罗朗级数展开来较复杂函数的罗朗级数展开式，如利用，三角函数等的泰勒或罗朗级数展开式：例1：求函数在内的罗朗展开。解： 在内，于是，例2：求在内的罗朗展开。解：。例3：将在，及内分别展成以为中心的罗朗级数。解：（i）在内，于是 ，无负幂项，这是因为在内，是解析的，所以展成的是泰勒级数。（ii）在内，于是。（）在内，于是。例4： 将在内展成以为中心的罗朗级数。【即展成的形式】解： ，而 （），。，。例5： 将在及内分别展成以为中心的罗朗级数。【即展成的形式】解： （i）在内,，于是，；（ii）在内，于是，；从而。本 章 重 点1 幂级数的基本性质（收敛圆，收敛半径）; 罗朗级数的收敛区域2 复变函数展开成幂级数（泰勒级数）的条件、方法3 复变函数展开成罗朗级数的条件、方法第四章习题1、求下列级数的收敛半径: a. ； b. （为常数）； c. 2、将下列函数按的幂展开，并指明收敛范围。a. ； b. 。3、将下列函数按的幂展开，并指出收敛范围。a. ； b. 。4、将下列函数在指定的环域内展成罗朗级数。a. ,； b. 。5、将下列函数在指定点的无心邻域内展成罗朗级数，并指出收敛范围。a. ； 【】 b. 。【】43
