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1、广义黎曼积分与勒贝格积分(2010-10-02 14:03:15) 标签： 教育分类： 工作篇 黎曼积分，广义积分，无界黎曼积分的可积条件之一是函数有界，但是在广义积分里无界函数也可能积分。问题一，高数里的定积分和黎曼积分是不是一个意思？问题二，黎曼积分表示的是函数与坐标轴包围的面积，如果函数无界，黎曼积分不可积，这是不是表示函数与坐标轴包围的面积不能计算或者面积无穷大？问题三，同问题二，广义积分里函数无界也可能积分，那么这个积分结果是函数与坐标轴包围的面积吗？也就是说当函数无界时，函数与坐标轴包围的面积有可能是可以计算的，并且面积的大小可通过广义积分计算？问题四，对上面的总结，黎曼积分的定义
2、是这样的：函数与坐标轴包围的面积采用分割的办法分割，如果分割的极限存在（也可能就是面积可计算？）那么就可黎曼积分。那么既然函数无界也可能够计算面积，那么这个计算结果也应该是黎曼积分里的那个极限，既然极限存在，为什么么会有一个函数必须有界的这个条件呢？，书上那个推导是说无界点领域内f(x)*y(y为分割大小）中由于f(x)无穷大所以f(x)*y为无穷大，这不就变向表示无界函数的面积一定无穷大嘛，这个推导好像理由不充分呀f(x)无穷大，y可以无穷小呀？问题：是不是无界就是一个人为规定的条件，实际上这个条件并不是必要条件问题补充：就是说函数有界只是黎曼可积的研究范围（也就是说黎曼积分只研究有界函数）
3、而不是黎曼可积的必要条件我来帮他解答满意回答1、是；2、3、黎曼积分有两个条件：被积函数有界和积分区间有限，且被积函数可积与黎曼和收敛是等价的，黎曼和收敛时黎曼积分等于某个实数，当上述两个条件不满足时就叫做广义积分，一般分为无界函数积分与无穷限积分（也有既函数无界又积分限无穷的），它们都不是正常积分（黎曼积分），广义积分是可能收敛也可能发散的，它们的几何解释就是：当一个广义积分收敛时这个广义积分等于某个实数，它的几何意义是该积分对应的一个伸向无穷远的不封口的几何图形的面积就等于这个实数的绝对值；4、黎曼积分是对黎曼和取极限，且是对于任意分割，对于任意的界点集的选取，只要让读作“纳姆达”的希腊字
4、母（即所有小的直径中的最大者，这个字母打不上去）趋于零，就有黎曼和无限地接近某个实数，这时才称该函数（黎曼）可积，广义积分都是先将积分区间缩小一点使变成正常（黎曼）积分，（这时它是不存在收敛与发散的问题的，它等于这个积分限的函数），再对那个积分限取普通的极限，使积分区间趋于原来的积分区间，如果这个极限存在就说这个广义积分收敛，否则就说其发散；但愿这样说你懂了。（1）不是一个意思，黎曼积分范围要小f（x）在a,b的定积分存在，我们称f（x）黎曼可积但是通常我们用来算的基本都是一样的（2）面积未必不能计算或者无穷大。可以参考广义黎曼积分。例如某函数存在奇点，它可能广义黎曼可积，也可能不可积。表达式
5、不写了，太麻烦。（3）基本同意，就是那个包围的理解需要排除奇点。（4）如果喜欢把对区间a，b的任意划分理解成坐标函数包围的分割，那么可以接受4的理解函数无界，未必能计算面积啊，有界是黎曼可以的必要条件。（不是广义黎曼积分）对于一个划分（分割），那么这个划分（分割）就确定了，所以不可以说y是无穷小的。也就是说一个分割确定了，那么y是个定值（虽然可以非常小，但是是定值），而f（x）是应变量所以f（x）*y为无穷大。黎曼积分的可积条件之一是函数有界，但是在广义积分里无界函数也可能积分。问题一，高数里的定积分和黎曼积分是不是一个意思？问题二，黎曼积分表示的是函数与坐标轴包围的面积，如果函数无界，黎曼积
6、分不可积，这是不是表示函数与坐标轴包围的面积不能计算或者面积无穷大？问题三，同问题二，广义积分里函数无界也可能积分，那么这个积分结果是函数与坐标轴包围的面积吗？也就是说当函数无界时，函数与坐标轴包围的面积有可能是可以计算的，并且面积的大小可通过广义积分计算？问题四，对上面的总结，黎曼积分的定义是这样的：函数与坐标轴包围的面积采用分割的办法分割，如果分割的极限存在（也可能就是面积可计算？）那么就可黎曼积分。那么既然函数无界也可能够计算面积，那么这个计算结果也应该是黎曼积分里的那个极限，既然极限存在，为什么么会有一个函数必须有界的这个条件呢？，书上那个推导是说无界点领域内f(x)*y(y为分割大小
7、）中由于f(x)无穷大所以f(x)*y为无穷大，这不就变向表示无界函数的面积一定无穷大嘛，这个推导好像理由不充分呀f(x)无穷大，y可以无穷小呀？问题：是不是无界就是一个人为规定的条件，实际上这个条件并不是必要条件问题补充：就是说函数有界只是黎曼可积的研究范围（也就是说黎曼积分只研究有界函数）而不是黎曼可积的必要条件检举 | 2009-9-21 22:46 满意回答 1、是；2、3、黎曼积分有两个条件：被积函数有界和积分区间有限，且被积函数可积与黎曼和收敛是等价的，黎曼和收敛时黎曼积分等于某个实数，当上述两个条件不满足时就叫做广义积分，一般分为无界函数积分与无穷限积分（也有既函数无界又积分限无
8、穷的），它们都不是正常积分（黎曼积分），广义积分是可能收敛也可能发散的，它们的几何解释就是：当一个广义积分收敛时这个广义积分等于某个实数，它的几何意义是该积分对应的一个伸向无穷远的不封口的几何图形的面积就等于这个实数的绝对值；4、黎曼积分是对黎曼和取极限，且是对于任意分割，对于任意的界点集的选取，只要让读作“纳姆达”的希腊字母（即所有小的直径中的最大者，这个字母打不上去）趋于零，就有黎曼和无限地接近某个实数，这时才称该函数（黎曼）可积，广义积分都是先将积分区间缩小一点使变成正常（黎曼）积分，（这时它是不存在收敛与发散的问题的，它等于这个积分限的函数），再对那个积分限取普通的极限，使积分区间趋于
9、原来的积分区间，如果这个极限存在就说这个广义积分收敛，否则就说其发散；但愿这样说你懂了。其他回答 （1）不是一个意思，黎曼积分范围要小f（x）在a,b的定积分存在，我们称f（x）黎曼可积但是通常我们用来算的基本都是一样的（2）面积未必不能计算或者无穷大。可以参考广义黎曼积分。例如某函数存在奇点，它可能广义黎曼可积，也可能不可积。表达式不写了，太麻烦。（3）基本同意，就是那个包围的理解需要排除奇点。（4）如果喜欢把对区间a，b的任意划分理解成坐标函数包围的分割，那么可以接受4的理解函数无界，未必能计算面积啊，有界是黎曼可以的必要条件。（不是广义黎曼积分）对于一个划分（分割），那么这个划分（分割）
10、就确定了，所以不可以说y是无穷小的。也就是说一个分割确定了，那么y是个定值（虽然可以非常小，但是是定值），而f（x）是应变量所以f（x）*y为无穷大。勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别http:/ （a,b)上的广义积分，函数列的积分的极限与积分号可以交换的充分条件。(a,b)为有限开区间，或为无限开区间。广义黎曼积分 勒贝格积分是黎曼(Riemann)积分的推广,勒贝格积分理论为有限闭区间上的有界函数是否.广义的黎曼积分和勒贝格积分之间没有直接的包含关系，例如在（0，+）上是广义黎曼可积的（积分值为/2），但f（x）在（0，+）上不是勒贝格可 .十九世纪数学 mathematics in 19
11、th century shijiu shiji shuxue19世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代。复变函数论的创立和分析学的.沿着扩展积分概念的方向，后来的数学家得到各种广义积分，最著名的当属20世纪初出现的勒贝格积分。1859年，黎曼研究函数的复零点，提出著名的黎曼猜.绝对可积函数 absolutely integrable function 指绝对值可积的函数.对黎曼积分(包括重积分),可积函数必绝对可积,且函数的绝对值的.对一元函数的广义积分，情形极不相同：f（x）广义可积（即f（x）的广义积分绝对收敛）时f广义可积，反之不一定.对广义重积分，通.广义积分 广义积分是定积分
12、 (黎曼积分) 的推广。广义积分基本上分为两种类型,一种是无穷区间上的.+，f（x）在闭区间a，u上（黎曼）可积，形式积分称为f（x）在a，+）上的广义积分。记，如果存在常数I，使得F（u）=I，则说.广义黎曼积分和勒贝格积分的关系王菊 西南民族学院学报：自然科学版 1998年第24卷第1期给出了不变号的函数的积分和积分的关系，同时给出了若积分存在，则积分也存在。 广义黎曼积分作者: 丁传松 / 李秉彝出版社: 科学出版社出版年: 1989-8本书对Riemann积分作了一点自然和朴素的修改,而得到绝对型和非绝对型的等价积分。黎曼空间指的是一个n维微分流形M,在其上给定了一个黎曼度量g，广义相
13、对论产生以来，黎曼几何获得了蓬勃的发展，特别是.嘉当在20世纪2030年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立起李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地，影响极为深远，由此还发展了线性联络及纤维丛方面的研究。黎曼积分如果函数f(X)在闭区间a,b上定义，而(P,)是这个闭区间的一个带点分割，则和 (f；p,):= f(i)Xi 叫做函数f在区间a,b上对应于带点分割(P,)的积分和，其中Xi=Xi-X(i-1) 存在这样一个实数I，如果对于任何0可以找到一个0，使对区间a,b的任何带点分割(P,)，只要分化P的参数(P)，就有|I-(f；p,)|，则称
14、函数f(X)在闭区间a,b上黎曼可积，而I就成为函数f(X)在闭区间a,b上的黎曼积分。 勒贝格积分将给定的函数按函数值的区域进行划分，作和、求极限而产生的积分概念，就是勒贝格积分。概念简述定义：设f (x) 是E L q(mE 0，必然存在E 的分划D，使 S(D, f ) -s(D, f ) = imEi ，这里S(D, f ) 及s(D, f )分别是f (x) 关于分划D 的大和及小和，imEi是Ei上的振幅。它与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分；后者是对函数定义域进行划分。对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻,他说:假如我欠人家一笔钱,现在要还,此时按钞票的
15、面值的大小分类,然后计算每一类的面额总值,再相加,这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类,而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数,那就是Riemann积分思想。(参见:周性伟,实变函数教学的点滴体会,高等理科教学,2000.1)即采取对值域作分划,相应得到对定义域的分划(每一块不一定是区间), 使得在每一块上的振幅都很小, 即按函数值的大小对定义域的点加以归类。 积分介绍积分是“和”的概念。即将东西加起来。所以积分早期是从面积，路程等计算中发展起来。比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将小区间的高度(Y值)乘以小区间的长度，然后加起来。用极限法就可以求得精确的面积。这是传统的积分概念(黎曼积分)。勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。比如
