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1、上册复习题【以下有的习题，需要你根据分析或提示做出解答】填空题 (1)点评：关于求函数极限（包括数列极限）的习题或模拟试题，由于做题方法不同，出现在本书不同的章节中。考试卷中多数都是求未定型的极限，用洛必达法则时，一般是先利用已知的知识（恒等变换或等价无穷小量替换，或分离出有极限的因式等）简化函数式后，再用洛必达法则。 求其它未定型的极限，若使用洛必达法则时，要先把函数变形【变成或】。譬如【分母分解因式后通分】【分子化简，分母分离出有极限的因式】【求幂指函数的极限，要先用对数恒等式】数列极限看作函数极限的特殊情形，譬如【用无穷小量替换更简单】(2) 提示：令则点评：数列极限是极限论中的重要部分
2、，本书是把它看作函数极限的特殊情形。关于求数列极限的习题，除了0-3中那些简单的习题和第0章后的部分测试题外，其他习题或试题都集中在5-6中。(3)设在内可微分，则，提示：点评：做本题时，注意“在内可微分在点可微分”、“可微可导”、“在点可导存在和且”、“可导连续”。(4)若函数在点连续，则 分析：在点连续(5)通过点且与椭圆相切的切线方程为分析：为求出切线方程，先求切点。设切点为，则【切点处切线的斜率】于是，切线方程为；又因为切线通过点，且切点又在椭圆上，所以将和代入，则切线方程为，化简为注：最后把切线方程写成当然也可以！(6)设函数，则分析：先求出，因为所以。因此，(7)设为曲线与所围成区
3、域的面积。记，则，分析：先求出，即（见右图）第(7)题图xyO11【根据莱布尼茨判别法，级数收敛】【见下注】注：其中级数是根据函数的幂级数展开式让时得到的。(8)微分方程满足的解为分析：它是一阶线性非齐次微分方程，但不是标准型，为了套用一般解的公式，需要首先把它变换成标准型，即【一阶线性非齐次微分方程的标准型】(9)若二阶线性常系数齐次微分方程的通解为，则非齐次微分方程满足条件的特解为分析：根据通解，说明齐次微分方程的特征方程有二重根，即，则非齐次微分方程就是。请你根据初始条件求出特解。(10)幂级数的收敛半径为分析：教科书中给出了两个求收敛半径的公式（教科书，p.376），根据系数的具体情形
4、，选用其中之一：或，则【有阶乘记号时不用前者；无穷多个系数等于0时不用后者】(11)已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛区间为分析：因为的收敛区间是以为中心的区间；又在收敛，在发散。因此，的收敛区间为。因为与具有相同的收敛半径，而后者收敛区间的中心为，所以的收敛区间为(12)以点、和为顶点的三角形的面积是解法1【用向量积的几何解释做】因为，则它们的向量积为因此，所求面积为解法2【用平面几何中的海伦公式做】三角形的面积为，其中为三角形的边长，。在本题中，因此，选择题(13)设均为正数，则【 】 (14)当时，与是等价无穷小量，则【 】 分析：根据假设，【可见，否则极限等于】因此，选。(1
5、5)当时，与等价的无穷小量是【 】 分析：当时，排除；注：当时，；(16)当时，与比较是【 】等价无穷小量 同阶，但不等价无穷小量高阶无穷小量 低阶无穷小量分析：【见9-2习题解答后面的点评】(17)设函数在处连续，下列命题错误的是【 】若存在，则若存在，则若存在，则存在若存在，则存在分析：因为函数在处连续，所以。假若，则，这与存在极限矛盾！同理，也与存在极限矛盾！因此，必有，即都是正确命题。关于(C)，根据，且存在，所以也是正确命题。最后当然选剩下的。事实上，例如，尽管存在但不存在导数！(18)设函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增量的线性主要部分为，则【 】 分析：因为微分就是函
6、数增量的线性主要部分，根据假设，则(19)设函数在内具有二阶导数，且。令，则下列结论正确的是【 】若，则数列必收敛 若，则数列必发散若，则数列必收敛 若，则数列必发散xyO 1 23第(19)题图二第(19)题图一收敛发散分析：说明导数在区间内是增大的，即是下凸的。当时，如图一，可能收敛，也可能发散【当然也可以举出例子，不过没必要】，所以排除看图二，猜想是。事实上，设，因为割线斜率是增大的，所以，即依此类推，则，因此(20)曲线的渐近线的条数为【 】 提醒：求渐近线时，要考虑到单侧极限！(21)设函数具有二阶导数，且，为自变量在点的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则【 】 分析：根据
7、，排除，。再根据泰勒公式：则，所以选(22)在柯西-黎曼积分中，正确的结论是【 】若在区间上可积，则它在上必有原函数。若在区间上有原函数，则它在上必可积。若在区间上有无穷多个间断点，则它在上不可积。任意改变可积函数的有限个函数值，不会改变函数的可积性和积分值。(23)如第（23）题图，连续函数在区间与上的图形分别是直径为的上、下半圆周，在区间与上的图形分别是直径为的下、上半圆周。设xyO-3-2-1123第(23)题图则下列正确的结论是【 】分析：大半圆的面积为，小半圆的面积为。注意到积分（下限小于上限）的几何解释是曲边梯形面积的代数和，则(24)设一阶线性非齐次微分方程的两个解为和，为任意常
8、数，则该微分方程的通解是【 】 分析：一阶线性非齐次微分方程通解的形式是的通解的一个解和都不是的解，但它们的差是的解，而就是的通解。因此，是的通解。(25)设有两个数列和。若，则【 】当收敛时，收敛 当发散时，发散当收敛时，收敛 当发散时，发散分析 显然排除【因为可能】；其次，收敛，所以，又，因此，当时，根据比较判别法，则也收敛，选注：取，可排除 解答题(26)选自网站()网友提供的习题(原题如此)A light is hung 6m above a straight horizontal path, a man 2m tall is walking at 2.4m/s away from t
9、he light. How fast is his shadow lengthening? At what rate is the tip of his shadow moving?2m6m第(26)题图分析与解答 如图示，找出等量关系，建立一个等式。设为身影的长度，为人离开光直射点走动的距离。根据“相似三角形对应边成比例”，则得下面的等式：，即因此，（人影变长的速率）；（人影前端的速率）。(27)设数列满足：，证明存在，并求出极限值； 计算分析与解答：根据假设，数列为正数数列，且有界，所以有极限【单调有界原理】；设，在两端取极限，则得，所以，即。其次，其中右端指数上的极限因此，(28)设函数
10、。求它的：增减区间；极值；下凸和上凸区间；拐点；渐近线。解 ，)-40()(x-6第第(28)题图看图，则函数：答案：在内减小；在内增大；在内减小；有极小值（没有极大值，0是间断点）；在内上凸；在和内下凸；有函数拐点；有水平渐近线和垂直渐近线。DB1Oxy切线AC第(29)题图(29)在曲线上某点处作一切线，使之与曲线和轴所围图形的面积为(单位平方)。求：切点的坐标；切线方程 ；上述平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积；上述平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。C解 设切点为，则切线斜率为，而切线方程为【其中】其中为切线上点的流动坐标。切线与轴交点的横坐标为，根据假设，则的面积因此，切点为；切
11、线方程为；上述平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为曲边三角形绕轴旋转一周所得旋转体的体积减去三角形绕轴旋转一周所得旋转体(圆锥体)的体积之差，即(底面积高) （单位立方）上述平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为梯形绕轴旋转一周所得旋转体(圆台)的体积减去曲边三角形绕轴旋转一周所得旋转体的体积之差，即（单位立方）注意：求旋转体的体积时，一定要认准是哪块平面图形绕哪个轴旋转得到的旋转体。当旋转体是规则立体(如球体、圆锥体等)时，可以直接套用中学数学中求立体体积的公式；当旋转体不是规则图形时，求体积时需根据具体情况决定是否要用“挖心法”或“柱壳法”。 (30)证明：当时，证 把看作常数，把看作变
12、数，并考虑函数则，而减小，而增大，所以即，特别取，则得点评：当然也可以作辅助函数则且因为，所以导数在上是减小的；于是，由又推出在上是增大的；由此可知，即或。特别，取，则得所要证的不等式上面这些证明不等式的方法，本质上同教科书(p.110)中的证明方法是一样的。请读者再看一下2-4中有关证明不等式的习题解答和模拟试题解答。(31)求的取值范围，使方程有实根。分析与解答：令，对于任意常数，则可见，只要有极小值，则方程就有实根。为此，先根据，得出有极小值；再让，则当时，方程有实根。(32)设，求分析与解答：是次多项式，即于是，。因此，(33)计算不定积分注：这是2009年考研试题数学三的第(16)题
13、。请注意下面的积分方法【用到换元积分法、分部积分法和有理函数的裂项积分法】。分析与解答：显然应当用分部积分法。为了计算简单起见，先做替换，则，于是，(34)设是连续函数。证明：函数可导，且若是以为周期的周期函数，证明函数也是以为周期的周期函数。点评：这是2008年考研试题数学一的第(18)题。其中第小题，几乎所有的教科书中都有它的证明。可见，准备考研的读者，除了做习题或模拟试题外，还要记住教科书中那些重要定理的证明，譬如罗尔定理、微分中值定理和积分中值定理等的证明。第小题的证明：(35)设函数和在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，。证明：存在点，使得提示：令，根据假设，；又和在内某点处存在相等的最大值，则。请你看图用罗尔定理证明题的结论。第(35)题图x(36)设曲线，其中是正值可导函数，且。已知曲线与直线及所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周所得的立体体积是曲边梯形面积的倍，求该曲线方程。分析与解答：根据假设， ，即在两端求导数，得且；在两端再求导数，得，化简为因为，所以有反函数且。于是，方程变成
