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1、第5章 实验四Lagrange插值多项式 实验目的：理解Lagrange插值多项式的基本概念，熟悉Lagrange插值多项式的公式及源代码，并能根据所给条件求出Lagrange插值多项式，理解龙格现象。5.1 Lagrange插值多项式Lagrange插值多项式的表达式： 。其中被称为插值基函数，实际上是一个n次多项式。的这种表示具有较好的对称性。公式具有两大优点：（1）求插值多项式，不需要求解线性方程组，当已知数据点较多时，此公式更能显示出优越性。（2）函数值可以用符号形式表示，数据点未确定的纵坐标可用多项式表示。5.2 Lagrange插值多项式源代码I% 功能： 对一组数据做Lagran
2、ge插值% 调用格式：yi=Lagran_(x,y,xi)% x,y 数组形式的数据表% xi:待计算y值的横坐标数组% yi用Lagrange 插值算出的y值数组function fi=Lagran_(x,f,xi)fi=zeros(size(xi); np1=length(f);for i=1:np1 z=ones(size(xi); for j=1:np1 if i=j,z=z.*(xi-x(j)/(x(i)-x(j);end end fi=fi+z*f(i);endreturn例5.1 已知4对数据（1.6，3.3），（2.7，1.22），（3.9，5.61），（5.6，2.94）。写
3、出这4个数据点的Lagrange插值公式，并计算出横坐标xi=2.101,4.234时对应的纵坐标。解：4个数据点的Lagrange插值公式为： 清单5.1 clearx=1.6, 2.7, 3.9, 5.6; y=3.3, 1.22, 5.61, 2.94；xi=2.101,4.234; yi=Lagran_(x,y,xi);xx=1.5:0.05:6.5;yy=Lagran_(x,y,xx);plot(xx,yy,x,y,o)其结果为：yi = 1.0596 6.6457 图5.1 插值多项式曲线图5.3 Lagrange插值多项式源代码II % 输入：x是插值节点横坐标向量；y是插值节点
4、对应纵坐标向量。% 输出：C是拉格朗日插值多项式的系数矩阵；L是插值基函数系数矩阵。 function C,L=lagran(x,y)w=length(x);n=w-1;L=zeros(w,w);for k=1:n+1V=1;for j=1:n+1 if k=jV=conv(V,poly(x(j)/(x(k)-x(j);endend L(k,:)=V;endC=y*L程序中使用了命令poly和conv。poly命令创建一个向量，其项为以多项式的系数，该多项式具有给定的根。conv命令生成一个向量，其项为多项式系数，该多项式是另外两个多项式的乘积。例如：找出两个一次多项式p(x)和q(x)的乘积
5、，它们的根为3和5。 p=poly(3) p=1 -3 q=poly(5) q=1 -5 conv(p,q) ans= 1 -8 15例5.2 用Lagrange插值多项式源代码II，对4对数据（1.6，3.3），（2.7，4.22），（3.9，5.61），（5.6，2.94），写出这4个数据点的Lagrange插值公式，并计算出横坐标组xi=2.101,4.234时对应的纵坐标值。解：4个数据点的Lagrange插值公式为：清单5.2 clearx=1.6, 2.7, 3.9, 5.6; y=3.3, 1.22, 5.61, 2.94；xi=2.101,4.234; C,L=lagran(x
6、,y);xx=1.5:0.05:6.5; yy= polyval(C,xx);plot(xx,yy, x,y,o)数据清单见图5.2，插值曲线图见图5.3。 图5.2 输出插值多项式的系数、插值基函数系数矩阵及yy值 图5.3 插值多项式曲线图形例5.3 将区间-5,5等分5份、10份，求函数的拉格朗日插值多项式，作出函数的原图像，观察龙格现象得出什么结果？解：清单5.3clear,clfx=-5:2:5; y=1./(1+x.2); C,L=lagran(x,y); xx=-5:0.1:5;yy=polyval(C,xx);hold onplot(xx,yy,b,x,y,.)xp=-5:0.
7、01:5;z=1./(1+xp.2);plot(xp,z,r) 清单5.4clear,clfx=-5:1:5; y=1./(1+x.2); C,L=lagran(x,y); xx=-5:0.1:5;yy=polyval(C,xx);hold onplot(xx,yy,b,x,y,.)xp=-5:0.01:5;z=1./(1+xp.2);plot(xp,z,r) 图5.4 5等份插值图形 图5.5 10等份插值图形 通过观察图形可以得出：（1） 并不是插值节点越多，插值多项式逼近函数效果就越好。（2） 误差较大地方，是在插值区间两端点附近出现。练习题1 设，（1）用基于点的二次拉格朗日多项式，求和的近似值。（2）用基于点，和的三次拉格朗日多项式，求和的近似值。2用等距插值节点计算区间上函数的四次拉格朗日多项式。每隔计算一次插值误差，并画出图形。
