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1、上海市宝山区上海大学附中2023-2024学年高一下数学期末教学质量检测试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答
2、题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1不等式的解集为（）ABCD2三边，满足，则三角形是（ ）A锐角三角形B钝角三角形C等边三角形D直角三角形3在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）ABCD4记等差数列前项和，如果已知的值，我们可以求得（ ）A的值B的值C的值D的值5设实数满足约束条件，则的最大值为（ ）AB9C11D6若直线过两点，则的斜率为（ ）ABC2D7阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为（ ）A0B1C2D38某公司的班车在
3、7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是ABCD9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD10已知三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）AB4CD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11已知，则与的夹角等于_.12_.13在直角坐标系中，直线与直线都经过点，若，则直线的一般方程是_.14空间一点到坐标原点的距离是_.15已知数列的前n项和，则_.16如图，缉私艇在处发现走私船在方位角且距离为12海里的处正以每小时10海里的速度沿方位角的方向逃窜，缉私艇立即以
4、每小时14海里的速度追击，则缉私艇追上走私船所需要的时间是_小时.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17某大学要修建一个面积为的长方形景观水池，并且在景观水池四周要修建出宽为2m和3m的小路如图所示问如何设计景观水池的边长，能使总占地面积最小？并求出总占地面积的最小值18已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.19已知数列的前项和为，且，.（1）试写出数列的任意前后两项（即、）构成的等式；（2）用数学归纳法证明：.20已知函数的值域为A，.(1)当的为偶函数时，求的值；
5、(2) 当时, 在A上是单调递增函数，求的取值范围； (3)当时，（其中)，若，且函数的图象关于点对称，在处取 得最小值，试探讨应该满足的条件.21已知函数的最小正周期为.（1）求的值和函数的值域；（2）求函数的单调递增区间及其图像的对称轴方程.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】把不等式左边的二次三项式因式分解后求出二次不等式对应方程的两根，结合二次函数的图象可得二次不等式的解集【详解】由,得(x1)(x+3)0，解得x1.所以原不等式的解为，故选：B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，求出二次方程
6、的根结合二次函数的图象可得解集，属于基础题.2、C【解析】由基本不等式得出，将三个不等式相加得出，由等号成立的条件可判断出的形状【详解】为三边，由基本不等式可得，将上述三个不等式相加得，当且仅当时取等号，所以，是等边三角形，故选C【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查基本不等式的应用，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”条件的应用，考查推理能力，属于中等题3、A【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为.【详解】根据对称性，点 关于 轴对称的点的坐标为.故选A.【点睛】本题考查空间直角坐标系和点的对称，属于基础题.4、C【解析】设等差数列an的首项为a1，公差为d，由a5+a2
7、1=2a1+24d的值为已知，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论【详解】设等差数列an的首项为a1，公差为d，已知a5+a21的值，2a1+24d的值为已知，a1+12d的值为已知，我们可以求得S25的值故选：C【点睛】本题考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题5、C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】作出约束条件表示的可行域如图，化目标函数为，联立，解得，由图可知，当直线过点时，z取得最大值11，故选：C.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单
8、题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6、C【解析】直接运用斜率计算公式求解.【详解】因为直线过两点，所以直线的斜率，故本题选C.【点睛】本题考查了斜率的计算公式，考查了数学运算能力、识记公式的能力.7、C【解析】根据给定的程序框图，逐次循环计算，即可求解，得到答案【详解】由题意，第一循环：，能被3整除，不成立，第二循环：，不能被3整除，不成立，第三循环：，不能被3整除，成立，终止循环，输
9、出，故选C【点睛】本题主要考查了程序框图的识别与应用，其中解答中根据条件进行模拟循环计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题8、B【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为，选B.【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.9、B【解析】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体，由体积公式直接求解.【详解】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体该几何体的体
10、积V64故选：B【点睛】本题考查了正方体与圆锥的组合体的三视图还原问题及体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10、B【解析】依据题中数据，利用勾股定理可判断出从而可得三棱锥各面都为直角三角形，进而可知外接圆的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积【详解】如图，因为 , 又，,从而可得三棱锥各面都为直角三角形，CD是三棱锥的外接球的直径，在中，, 即 ，故选B【点睛】本题主要考查学生空间想象以及数学建模能力，能够依据条件建立合适的模型是解题的关键二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】根据向量的坐标即可求出，根据向量夹角的公式即可求出【详解】，又，故答案为：【
11、点睛】考查向量坐标的数量积运算，向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，属于基础题12、【解析】先令，得到，两式作差，根据等比数列的求和公式，化简整理，即可得出结果.【详解】令，则，两式作差得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查数列的求和，熟记错位相加法求数列的和即可，属于常考题型.13、【解析】点代入的方程求出k，再由求出直线的斜率，即可写出直线的点斜式方程.【详解】将点代入直线得，解得，又，于是的方程为，整理得.故答案为：【点睛】本题考查直线的方程，属于基础题.14、【解析】直接运用空间两点间距离公式求解即可.【详解】由空间两点距离公式可得：.【点睛】本题考查了空间两点间距离公式
12、，考查了数学运算能力.15、【解析】先利用求出，在利用裂项求和即可.【详解】解：当时，当时，综上，故答案为：.【点睛】本题考查和的关系求通项公式，以及裂项求和，是基础题.16、【解析】设缉私艇追上走私船所需要的时间为小时，根据各自的速度表示出与，由，利用余弦定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值【详解】解：设缉私艇上走私船所需要的时间为小时，则，在中，根据余弦定理知：，或（舍去），故缉私艇追上走私船所需要的时间为2小时故答案为：【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说
13、明、证明过程或演算步骤。17、水池一边长为12m，另一边为18m，总面积为最小，为【解析】设水池一边长为xm，则另一边为，表示出面积利用基本不等式求解即可【详解】设水池一边长为xm，则另一边为，总面积，当且仅当时取等号，故水池一边长为12m，则另一边为18m，总面积为最小，为，【点睛】本题考查函数在实际问题中的应用，基本不等式的应用，考查计算能力18、（1），（2）【解析】（1）根据与的关系，利用临差法得到，知公差为3；再由代入递推关系求；（2）观察数列的通项公式，相邻两项的和有规律，故采用并项求和法，求其前项和.【详解】（1）对任意，有，当时，有，解得或.当时，有.-并整理得.而数列的各项均
14、为正数，.当时，此时成立；当时，此时，不成立，舍去.，.（2）.【点睛】已知与的递推关系，利用临差法求时，要注意对下标与分两种情况，即；数列求和时要先观察通项特点，再决定采用什么方法.19、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由，可得出，两式相减，化简即可得出结果；（2）令代入求出的值，再由求出的值，可验证和时均满足，并假设当时等式成立，利用数学归纳法结合数列的递推公式推导出时等式也成立，综合可得出结论.【详解】（1）对任意的，由可得，上述两式相减得，化简得；（2）当时，由可得，解得，满足；当时，由于，则，满足；假设当时，成立，则有，由于，则.这说明，当时，等式也成立.综合，.【点睛】本题考查数列递推公式的求解，同时也考查了利用数学归纳法证明数列的通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.20、（1）；（2）；
