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1、2024届黑龙江省哈尔滨市阿城区龙涤中学高一数学第二学期期末预测试题注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1已知，则（ ）ABCD2执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的数等于（ ）ABCD3已知不等式的解集是，则( )AB1CD34在正方体中，分别为棱，的中点，则异面直线与所成的角为ABCD5已知,是球
2、球面上的四个点，平面,，则该球的表面积为（ ）ABCD6如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：与平行 与是异面直线与成角 与是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（）A1B2C3D47若，且，则的值为ABCD8圆心在(-1,0),半径为的圆的方程为( )ABCD9已知为锐角，且满足，则（ ）ABCD10我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是ABCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高
3、（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中抽取的人数应为_.12已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_13 “”是“数列依次成等差数列”的_条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.14若（），则_（结果用反三角函数值表示）15已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_.16已知当时，函数（且）取得最小值，则时，的值为_三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知函数（1）求（x）的最小正周期和单调递
4、增区间；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值18如图，三条直线型公路，在点处交汇，其中与、与的夹角都为，在公路上取一点，且km，过铺设一直线型的管道，其中点在上，点在上（，足够长），设km，km（1）求出，的关系式；（2）试确定，的位置，使得公路段与段的长度之和最小19已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最小值及相应的值.20已知函数（1）求的最小正周期；（2）当时，求的值域21如图所示，是正三角形，线段和都垂直于平面，设，且为的中点（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的较小二面角的大小参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中
5、，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】.所以选A.【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.2、B【解析】模拟执行循环体的过程，即可得到结果.【详解】根据程序框图，模拟执行如下：，满足，满足，满足，不满足，输出.故选：B.【点睛】本题考查程序框图中循环体的执行，属基础题.3、A【解析】的两个解为-1和2.【详解】【点睛】函数零点、一元二次等式的解、函数与x轴的交点之间的相互转换。4、A【解析】如图做辅助线，正方体中，且，P，M为和中点，,则即为所求角，设边长即可求得【详解】如图，取的中点，连接，.因为为棱的中点，为的中点，所以，所以，则是异面直线与所成角的平面角.设，在
6、中，则，即.【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键在于构造包含异面直线所成角的三角形5、B【解析】根据截面法，作出球心O与外接圆圆心所在截面，利用平行四边形和勾股定理可求得球半径，从而得到结果.【详解】如图，的外接圆圆心E为BC的中点，设球心为O，连接OE，OP，OA，D为PA的中点，连接OD.根据直角三角形的性质可得，且平面，则/，由为等腰三角形可得，又，所以/，则四边形ODAE是矩形，所以=，而，中，根据勾股定理可得，所以该球的表面积为.所以本题答案为B.【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积问题，几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形
7、中，如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定.6、B【解析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，与异面且垂直，故错误；与平行，故错误；连接，则，为与所成角，连接，可知为正三角形，则，故正确；由异面直线的定义可知，与是异面直线，故正确正确命题的个数是2个故选：B【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题7、A【解析】利用诱导公式求得sin的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cos，再利用二倍角公式，求
8、得sin2的值【详解】解：，且，则，故选A【点睛】本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题8、A【解析】根据圆心和半径可直接写出圆的标准方程.【详解】圆心为(-1,0),半径为，则圆的方程为故选：A【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，属于简单题.9、D【解析】由，得，即可得到本题答案.【详解】由，得，所以，所以.故选：D【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用以及特殊角的三角函数值.10、C【解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，
9、13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、3【解析】先由频率之和等于1得出的值，计算身高在，的频率之比，根据比例
10、得出身高在内的学生中抽取的人数.【详解】身高在，的频率之比为所以从身高在内的学生中抽取的人数应为故答案为：【点睛】本题主要考查了根据频率分布直方图求参数的值以及分层抽样计算各层总数，属于中档题.12、【解析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解【详解】由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=,圆锥的侧面积S=rl=2故答案为：2【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=rl.13、必要非充分【解析】通过等差数列的下标公式，得到必要条件，通过举特例证明非充分条件，从而得到答案.【详解】因为数列依次成等差数列，所以根据等差数列下标公式，可得，当，时，满足，但不能得到数列依次成等差数列所
11、以综上，“”是“数列依次成等差数列”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分.【点睛】本题考查必要非充分条件的证明，等差数列通项的性质，属于简单题.14、【解析】根据反三角函数以及的取值范围，求得的值.【详解】由于，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查已知三角函数值求角，考查反三角函数，属于基础题.15、或【解析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为，把已知点坐标代入即可求出的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为，把已知点的坐标代入即可求出的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程【详解】解：当
12、所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为，把代入所设的方程得：，则所求直线的方程为即；当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为，把代入所求的方程得：，则所求直线的方程为即综上，所求直线的方程为：或故答案为：或【点睛】此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题16、3【解析】先根据计算，化简函数，再根据当时，函数取得最小值，代入计算得到答案.【详解】或当时，函数取得最小值：或（舍去）故答案为3【点睛】本题考查了三角函数的化简，辅助角公式，函数的最值，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.三、解答题：本大题共5小
13、题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）,的增区间是（2）【解析】试题分析：（1）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到的形式，利用公式计算周期（2）利用正弦函数的单调区间，再求的单调性（3）求三角函数的最小正周期一般化成，形式，利用周期公式即可（4）求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成形式，再的单调区间，只需把看作一个整体代入相应的单调区间，注意先把化为正数,这是容易出错的地方试题解析：（1）因为11，故最小正周期为得故的增区间是 （2）因为，所以于是，当，即时，取得最大值2；当，即时，取得最小值1考点：（1）求三角函数的周期和单调区间；（2）求三角函数在闭区
14、间的最值18、（1）（2）当时，公路段与段的总长度最小【解析】（1）（法一）观察图形可得，由此根据三角形的面积公式，建立方程，化简即可得到的关系式；（法二）以点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，找到各点坐标，根据三点共线，即可得到结论；（2）运用“乘1法”，利用基本不等式，即可求得最值，得到答案【详解】（1）（法一）由图形可知，所以，即 （法二）以为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，由，三点共线得（2）由（1）可知，则（），当且仅当（km）时取等号答：当时，公路段与段的总长度最小为8.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式应用，以及利用基本不等式求最值，着重考查了推理运算能力，属于基础题19、（1）（2）的最小值为，此
