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1、2024届安徽省蚌埠市田家炳中学、五中高一下数学期末教学质量检测试题考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1在中，所对的边分别为，若，则（ ）ABC1D32为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中个零件的长度，在这个工作中，个零件的长度是（ ）A总体B个
2、体C样本容量D总体的一个样本3一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，下列事件的概率：（1）豆子落在红色区域概率为；（2）豆子落在黄色区域概率为；（3）豆子落在绿色区域概率为；（4）豆子落在红色或绿色区域概率为；（5）豆子落在黄色或绿色区域概率为.其中正确的结论有（ ）A2个B3个C4个D5个4关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）ABCD5已知平面平面，直线平面，直线平面，在下列说法中，若，则；若，则；若，则.正确结论的序号为（ ）ABCD6已知，则的值等于（ ）ABCD7我国古代数学名著九章算术中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，
3、顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体是一个刍甍.四边形为矩形，与都是等边三角形，则此“刍甍”的表面积为（ ）ABCD8关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则的取值范围是（ ）ABCD9将八进制数化成十进制数，其结果为（ ）ABCD10直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为ABCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11已知角满足，则_12已知正方体的棱长为，点、分别为、的中点，则点到平面的距离为_.13在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，b=1,则_14已知直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，则等于_.15一个社会调查机构就某地居民收入调查了
4、10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在（元）内的应抽出_人.16将边长为2的正沿边上的高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为 三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，为中点.(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值.18已知圆心在直线上的圆C经过点，且与直线相切.（1）求过点P且被圆C截得的弦长等于4的直线方程；（2）过点P作两条相异的直线分别与圆C交于A，B，若直线PA，PB的倾斜角互补，试判断直线AB与
5、OP的位置关系（O为坐标原点），并证明.19计算：（1）（2） （3）20已知等比数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）是否存在正整数，使得成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.21某工厂共有200名工人，已知这200名工人去年完成的产品数都在区间（单位：万件）内，其中每年完成14万件及以上的工人为优秀员工，现将其分成5组，第1组、第2组第3组、第4组、第5组对应的区间分别为，并绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）选取合适的抽样方法从这200名工人中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；（2）现从（1）中25人的样本中的优秀员工中随机选取2名传授经验，求选取的2
6、名工人在同一组的概率.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】利用三角形内角和为，得到，利用正弦定理求得.【详解】因为，所以，在中，所以，故选A.【点睛】本题考查三角形内角和及正弦定理的应用，考查基本运算求解能力.2、D【解析】根据总体与样本中的相关概念进行判断.【详解】由题意可知，在这个工作中，个零件的长度是总体的一个样本，故选D.【点睛】本题考查总体与样本中相关概念的理解，属于基础题.3、B【解析】试题分析：方桌共有块，其中红色的由块，黄色的由块，,绿色的由块，所以（1）（2）（3）结论正确，故选择B.这
7、里表面上看是与面积相关的几何概型，其实还是古典概型考点：古典概型的概率计算和事件间的关系.4、D【解析】由不等式与方程的关系可得且，则等价于，再结合二次不等式的解法求解即可.【详解】解：由关于x的不等式的解集是，由不等式与方程的关系可得且，则等价于等价于，解得，即关于x的不等式的解集是，故选：D.【点睛】本题考查了不等式与方程的关系，重点考查了二次不等式的解法，属基础题.5、D【解析】由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断；由面面垂直的性质定理可判断；由线面垂直的性质定理可判断【详解】平面平面直线平面，直线平面，若，可得，可能平行，故错误；若，由面面垂直的性质定理可得，故正确；若，可得，故正确
8、故选：D【点睛】本题考查空间线线和线面、面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题6、B【解析】7、A【解析】分别计算出每个面积，相加得到答案.【详解】 故答案选A【点睛】本题考查了图像的表面积，意在考查学生的计算能力.8、C【解析】首先将原不等式转化为，然后对进行分类讨论，再结合不等式解集中恰有3个整数，列出关于的条件，求解即可.【详解】关于的不等式等价于当时，即时，于的不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则；当时，即时，于的不等式的解集为，不满足题意；当时，即时，于的不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则；综上，.故选：C【点睛】本题主要考了一元二次不等
9、式的解法以及分类讨论思想，属于中档题9、B【解析】利用进制数化为十进制数的计算公式，从而得解【详解】由题意，故选【点睛】本题主要考查八进制数与十进制数之间的转化，熟练掌握进制数与十进制数之间的转化计算公式是解题的关键10、A【解析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.【详解】由题得，所以直线l过定点P.当CPl时，弦AB最短.由题得,所以.所以直线l的方程为.故选：A【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】利用诱导公式以及
10、两角和与差的三角公式，化简求解即可【详解】解：角满足，可得则故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的三角公式，诱导公式的应用，考查计算能力，是基础题12、【解析】作出图形，取的中点，连接，证明平面，可知点平面的距离等于点到平面的距离，然后利用等体积法计算出点到平面的距离，即为所求.【详解】如下图所示，取的中点，连接，在正方体中，且，、分别为、的中点，且，所以，四边形为平行四边形，且，又，平面，平面，平面，则点平面的距离等于点到平面的距离，的面积为，在正方体中，平面，且平面，易知三棱锥的体积为.的面积为.设点到平面的距离为，则，.故答案为：.【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要
11、认真审题，注意等体积法的合理运用13、2【解析】根据条件，利用余弦定理可建立关于c的方程，即可解出c.【详解】由余弦定理得，即，解得或（舍去）.故填2.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.14、5【解析】分别求得A，B的坐标，再用两点间的距离公式求解.【详解】根据题意令得所以令得所以所以故答案为：5【点睛】本题主要考查点坐标的求法和两点间的距离公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15、25【解析】由直方图可得2500,3000)(元)月收入段共有100000.0005500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为25.16、【解析】解：根据题意可知三棱锥BACD的三
12、条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，长方体的对角线的长为：，球的直径是，半径为，三棱锥BACD的外接球的表面积为：45故答案为5 考点：外接球.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1)证明见解析；(2) 【解析】(1)连接交于,连接,再证明即可.(2)根据(1)中的可知异面直线与所成角的为,再计算的各边长分析出为直角三角形,继而求得即可.【详解】(1) 连接交于,连接.则为中点因为分别为中点,故为中位线,故.又面,面.故平面.(2)由(1)有异面直线与所成角即为与所成角即,设正四棱锥的各边长均为2,
13、则,.因为,故.则.即异面直线与所成角的余弦值为【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及异面角的余弦求解,需要根据题意找到中位线证明线面平行,同时要将异面角利用平行转换为平面角,利用三角形中的关系求解.属于基础题.18、（1）或；（2）平行 【解析】（1）设出圆的圆心为，半径为，可得圆的标准方程，根据题意可得，解出即可得出圆的方程，讨论过点P的直线斜率存在与否，再根据点到直线的距离公式即可求解. （2）由题意知，直线PA，PB的倾斜角互补，分类讨论两直线的斜率存在与否，当斜率均存在时，则直线PA的方程为：，直线PB的方程为：，分别与圆C联立可得，利用斜率的计算公式与作比较即可.【详解】（1）根
14、据题意，不妨设圆C的圆心为，半径为，则圆C，由圆C经过点，且与直线相切，则，解得，故圆C的方程为：，所以点在圆上，过点P且被圆C截得的弦长等于4的直线，当直线的斜率不存在时，直线为： ，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线方程为：，故，解得，故直线方程为：.综上所述：所求直线的方程：或.（2）由题意知，直线PA，PB的倾斜角互补，且直线PA，PB的斜率均存在，设两直线的倾斜角为和，因为，由正切的性质，则，不妨设直线的斜率为，则PB的斜率为，即：，则：，由，得，点的横坐标为一定是该方程的解，故可得，同理，,直线AB与OP平行.【点睛】本题考查了圆的标准方程，已知弦长求直线方程，考查了直线与圆的位置关系以及学生的计算能力，属于中档题.
