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1、云南省石林彝族自治县民族中学2023-2024学年高一数学第二学期期末综合测试模拟试题考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1已知函数则的是ABCD2式子的值为( )AB0C1D3在中，则的面积是（ ）ABC或D或4函数图像的一个对称中心是（
2、）ABCD5若向量，则在方向上的投影为（ ）A-2B2CD6直线与圆的位置关系是（ ）A相切B相离C相交但不过圆心D相交且过圆心7若，且，则与的夹角是（ ）ABCD8已知平面内，且，则的最大值等于（ ）A13B15C19D219已知数列满足，（且），且数列是递增数列，数列是递减数列，又，则ABCD10的内角，的对边分别为，.已知，则（ ）ABCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11数列的前项和为，则_12关于的不等式，对于恒成立，则实数的取值范围为_.13已知，则的最小值为_.14等比数列中首项，公比，则_.15已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，若圆柱的一个底面的
3、圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的侧面积为_.16已知：，则的取值范围是_三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知向量，函数.（1）若且，求；（2）求函数的最小正周期T及单调递增区间.18已知为等边角形，.点满足，.设.试用向量和表示;若,求的值.19已知数列满足：，.（1）求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；（2）记（），用数学归纳法证明：，20 已知四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点 ()求证：PC平面EBD；()求证：平面PBC平面PCD21的内角，的对边
4、分别为，为边上一点，为的角平分线，（1）求的值：（2）求面积的最大值参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】根据自变量的范围确定表达式，从里往外一步步计算即可求出.【详解】因为，所以，因为，所以3.【点睛】主要考查了分段函数求值问题，以及对数的运算，属于基础题.对于分段函数求值问题，一定要注意根据自变量的范围，选择正确的表达式代入求值.2、D【解析】利用两角和的正弦公式可得原式为cos（），再由特殊角的三角函数值可得结果.【详解】cos（）coscos，故选D【点睛】本题考查两角和的余弦公式，熟练掌握两角和与
5、差的余弦公式以及特殊角的三角函数值是解题的关键，属于基础题.3、C【解析】先根据正弦定理求出角，从而求出角，再根据三角形的面积公式进行求解即可【详解】解：由，根据正弦定理得：，为三角形的内角，或，或在中，由，或则面积或故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题4、B【解析】由题得,解出x的值即得函数图像的一个对称中心.【详解】由题得,所以，所以图像的对称中心是当k=1时，函数的对称中心为.故选B【点睛】本题主要考查三角函数图像的对称中心的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5、A【解析】向量，所
6、以，|=5，所以在方向上的投影为 =-2故选A6、C【解析】圆心到直线的距离，据此可知直线与圆的位置关系为相交但不过圆心.本题选择C选项.7、B【解析】根据相互垂直的向量数量积为零，求出与的夹角.【详解】由题有，即，故，因为，所以.故选：B.【点睛】本题考查了向量的数量积运算，向量夹角的求解，属于基础题.8、A【解析】令，将，表示成，即可将表示成，展开可得：，再利用基本不等式即可求得其最大值.【详解】令，则又，所以当且仅当时，等号成立.故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用及利用基本不等式求最值，考查转化能力及计算能力，属于难题.9、A【解析】根据已知条件可以推出，当为奇数时，当
7、为偶数时，因此去绝对值可以得到，利用累加法继而算出结果【详解】，即，或，又，数列为递增数列，数列为递减数列，当为奇数时，当为偶数时， 故选A【点睛】本题主要考查了通过递推式求数列的通项公式，数列单调性的应用，以及并项求和法的应用。10、C【解析】利用正弦定理求出的值，由得出，可得出角的值，再利用三角形的内角和定理求出角的大小.【详解】由正弦定理得，则，则，所以，由三角形的内角和定理得，故选：C.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，也考查了三角形内角和定理的应用，在解题时要注意正弦值所对的角有可能有两角，可以利用大边对大角定理或两角之和小于进行验证，另外就是要熟悉正弦定理解三角形所适用的基本情
8、形，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、18【解析】利用，化简得到数列是首项为，公比为的等比数列，利用,即可求解.【详解】 ,即 所以数列是首项为，公比为的等比数列即 所以 故答案为：【点睛】本题主要考查了与的关系以及等比数列的通项公式，属于基础题.12、或【解析】利用换元法令，则对任意的恒成立，再对分两种情况讨论，令求出函数的最小值，即可得答案.【详解】令，则对任意的恒成立，（1）当，即时，上式显然成立；（2）当，即时，令当时，显然不成立，故不成立；当时，解得：综上所述：或.故答案为：或.【点睛】本题考查含绝对值函数的最值问题，考查函数与方程思想
9、、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意分段函数的最值求解.13、25【解析】变形后，利用基本不等式可得.【详解】 当且仅当，即， 时取等号.故答案为：25【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.14、9【解析】根据等比数列求和公式，将进行转化，然后得到关于和的等式，结合，讨论出和的值，得到答案.【详解】因为等比数列中首项，公比，所以成首项为，公比为的等比数列，共项，所以整理得因为所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，则应是的约数，所以可得，所以，当时，得，此时当时，得，此时当时，得，此时，所以，故答案为：.【点睛】本题考
10、查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题.15、【解析】先求出四棱锥的底面对角线的长度，结合勾股定理可求出四棱锥的高，然后由圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，可知四条侧棱的中点连线为正方形，其对角线为圆柱底面的直径，圆柱的高为四棱锥的高的一半，分别求解可求出圆柱的侧面积.【详解】由题可知，四棱锥是正四棱锥，四棱锥的四条侧棱的中点连线为正方形，边长为，该正方形对角线的长为1，则圆柱的底面半径为，四棱锥的底面是边长为的正方形，其对角线长为2，则四棱锥的高为，故圆柱的高为1，所以圆柱的侧面积为.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，考查了学生的空间想象能力与计算求
11、解能力，属于中档题.16、【解析】由已知条件将两个角的三角函数转化为一个角的三角函数，再运用三角函数的值域求解.【详解】由已知得，所以，又因为 ，所以，解得，所以，故填 .【点睛】本题考查三角函数的值域，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）最小正周期，的单调递增区间为：.【解析】（1）计算平面向量的数量积得出函数的解析式，求出时的值；（2）根据的解析式，求出它的最小正周期T及单调递增区间.【详解】函数时，解得又；（2）函数它的最小正周期：令故：的单调递增区间为：【点睛】本题考查了正弦型函数的性质，考查了学生综合分析，转化
12、与划归，数形结合的能力，属于中档题.18、 (1) ； ；(2) .【解析】（1）根据向量线性运算法则可直接求得结果；（2）根据（1）的结论将已知等式化为；根据等边三角形边长和夹角可将等式变为关于的方程，解方程求得结果.【详解】（1）（2）为等边三角形且 ，即：，解得：【点睛】本题考查平面向量线性运算、数量积运算的相关知识；关键是能够将等式转化为已知模长和夹角的向量的数量积运算的形式，根据向量数量积的定义求得结果.19、（1）证明见解析，；（2）见解析【解析】（1）定义法证明：；（2）采用数学归纳法直接证明（注意步骤）.【详解】由可知：，则有，即，所以为等差数列，且首相为，公差，所以，故；（2
13、） ，当时，成立；假设当时，不等式成立则：；当时，因为 ，所以，则，故时不等式成立，综上可知：.【点睛】数学归纳法的一般步骤：（1）命题成立；（2）假设命题成立；（3）证明命题成立（一定要借助假设，否则不能称之为数学归纳法）.20、 ()见解析 ()见解析【解析】试题分析：（1）连，与交于，利用三角形的中位线，可得线线平行，从而可得线面平行；（2）证明，即可证得平面平面试题解析：()连接AC交BD与O，连接EO, E、O分别为PA、AC的中点，EOPC，PC平面EBD，EO平面EBDPC平面EBD()PD平面ABCD, BC平面ABCD，PDBC，ABCD为正方形，BCCD，PDCDD, PD、CD平面PCDBC平面PCD，又BC平面PBC，平面PBC平面PCD.【点睛】本题考查线面平行，考查面面平行，掌握线面平行，面面平行的判定方法是关键21、（1）（2）3【解析】（1）由，根据三角形面积公式可知，再根据角平分线的定义可知，到，的距离相等，所以，即可求出；（2）先根据（1）可得，由平方关系得，再根据三角形的面积公式，可化简得，然后根据基本不等式即可求出面积的最大值【详解】（1）如图所示：因为，所以又因为为的角平分线，所以到，的距离相等，所以所以（2）由
