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1、2024届浙江省杭州市江南实验学校高一下数学期末经典试题考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职
2、工32人，则该样本中的老年职工人数为( )A9B18C27D362已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）ABCD3已知函数，其中为整数，若在上有两个不相等的零点，则的最大值为( )ABCD4函数，若方程恰有三个不同的解，记为，则的取值范围是( )ABCD5已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）A11B16C20D286已知向量，且，则的值为()A6B6CD7已知，下列不等式中必成立的一个是( )ABCD8已知直线过点且与直线垂直，则该直线方程为（）ABCD9甲.乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果
3、两人步行速度.跑步速度均相同，则（）A甲先到教室B乙先到教室C两人同时到教室D谁先到教室不确定10以下现象是随机现象的是A标准大气压下，水加热到100，必会沸腾B长和宽分别为a，b的矩形，其面积为C走到十字路口，遇到红灯D三角形内角和为180二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11已知函数，若，则_12已知数列的通项公式为是数列的前n项和，则_.13已知等比数列的公比为2,前n项和为,则=_.14已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为_15已知直线与，当时，实数_；当时，实数_.16已知，各项均为正数的数列满足，若，则的值是 .三、解答
4、题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知数列满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.18已知点A(1，2)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，m)(1)若向量，求实数m的值；(2)若m3，求向量与的夹角19已知，与的夹角为.（1）若，求；（2）若与垂直，求.20已知数列，满足，.（1）设，求数列的通项公式；（2）设，求数列，的前n项和.21已知平面向量（1）若，求；（2）若，求与夹角的余弦值.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】试题分析：根据条
5、件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，x+2x+160=430，x=90，即由比例可得该单位老年职工共有90人，在抽取的样本中有青年职工32人，每个个体被抽到的概率是用分层抽样的比例应抽取90=18人故选B考点：分层抽样点评：本题是一个分层抽样问题，容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过2、C【解析】根据题意可知所
6、求的球为正四棱柱的外接球，根据正四棱柱的特点利用勾股定理可求得外接球半径，代入球的体积公式求得结果.【详解】由题意可知所求的球为正四棱柱的外接球底面正方形对角线长为：外接球半径外接球体积本题正确选项：【点睛】本题考查正棱柱外接球体积的求解问题，关键是能够根据正棱柱的特点确定球心位置，从而利用勾股定理求得外接球半径.3、A【解析】利用一元二次方程根的分布的充要条件得到关于的不等式，再由为整数，可得当取最小时，取最大，从而求得答案.【详解】在上有两个不相等的零点，当取最小时，取最大，两个零点的乘积小于1，为整数，令时，满足.故选：A.【点睛】本题考查一元二次函数的零点，考查函数与方程思想、转化与化
7、归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意为整数的应用.4、D【解析】由方程恰有三个不同的解，作出的图象，确定，的取值范围，得到的对称性，利用数形结合进行求解即可【详解】设作出函数的图象如图：由则当时, ,即函数的一条对称轴为，要使方程恰有三个不同的解，则,此时,关于对称，则 当，即，则则的取值范围是，选D.【点睛】本题主要考查了方程与函数，数学结合是解决本题的关键，数学结合也是数学中比较重要的一种思想方法5、C【解析】可利用等差数列的性质，仍然成等差数列来解决【详解】为等差数列，前项和为，成等差数列，又，故选：【点睛】本题考查等差数列的性质，关键在于掌握“等差数列中，仍成等差数列”这
8、一性质，属于基础题6、A【解析】两向量平行，內积等于外积。【详解】，所以选A.【点睛】本题考查两向量平行的坐标运算，属于基础题。7、B【解析】根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，由于，不等号方向不相同，不能相加，故A选项错误.对于B选项，由于，所以，而，根据不等式的性质有：，故B选项正确.对于C选项，而两个数的正负无法确定，故无法判断的大小关系，故C选项错误.对于D选项，而两个数的正负无法确定，故无法判断的大小关系，故D选项错误.故选：B.【点睛】本小题主要考查根据不等式的性质判断不等式是否成立，属于基础题.8、A【解析】根据垂直关系求出直线斜率为 ，再由点
9、斜式写出直线。【详解】由直线与直线垂直，可知直线斜率为，再由点斜式可知直线为： 即.故选A.【点睛】本题考查两直线垂直，属于基础题。9、B【解析】设两人步行，跑步的速度分别为，（）图书馆到教室的路程为，再分别表示甲乙的时间，作商比较即可.【详解】设两人步行、跑步的速度分别为，（）图书馆到教室的路程为则甲所用的时间为：乙所用的时间，满足+，解得则1故乙先到教室故选：B【点睛】本题考查了路程与速度、时间的关系、基本不等式的性质，属于基础题10、C【解析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 标准大气压下，水加热到100，必会沸腾,是必然事件；B. 长和宽分别为a，b的矩形，其面积为，是必然事
10、件；C. 走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；D. 三角形内角和为180，是必然事件.故选C【点睛】本题主要考查必然事件、随机事件的定义与判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】由三角函数的辅助角公式化简，关键需得出辅助角的正切值，再由函数的最大值求解.【详解】由三角函数的辅助公式得（其中），因为所以，所以，所以，所以，故填： 【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式，属于基础题.12、【解析】对数列的通项公式进行整理，再求其前项和，利用对数运算规则，可得到，从而求出，得到答案.【详解】所以所以.故答案为：.【点睛】本题
11、考查对数运算公式，由数列的通项求前项和，数列的极限，属于中档题.13、 【解析】由等比数列的定义，S4=a1a2a3a4=a2a2qa2q2，得1qq2=.14、8【解析】分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线，高，底面圆半径的长，代入公式计算即可.详解：如下图所示，又，解得，所以，所以该圆锥的体积为.点睛：此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.15、 【解析】根据两直线垂直和平行的充要条件，得到关于的方程，解方程即可得答案.【详解】当时，解得：；当时，且，解得：.故答案为：；.【点睛】本题考查两直线垂直和
12、平行的充要条件，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.16、【解析】由题意得，依次求得， ，且0，依次求得= =，+=+=考点：数列的递推公式三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用数列的递推公式证明出为非零常数，即可证明出数列是等比数列；（2）确定等比数列的首项和公比，求出数列的通项公式，即可求出.【详解】（1），因此，数列是等比数列；（2）由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，.【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了数列通项的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18、
13、 (1)1；（2）.【解析】(1) 先求出，的坐标，再根据两向量平行坐标交叉相乘相减等于零求解；(2) 先求出，的坐标和模，再求，的数量积，即可求向量与的夹角【详解】(1)因为A(1，2)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，m)，所以，若向量，则，即，(2) 若m3，则，所以，所以，故向量与的夹角为 .【点睛】本题考查向量平行与夹角的计算.向量平行根据向量共线定理，求向量的夹角要选择合适的公式.19、（1）；（2）【解析】（1）根据向量共线，对向量的夹角分类讨论，利用数量积公式即可完成求解；（2）根据向量垂直得到数量积为，再根据已知条件并借助数量积公式即可计算出的值.【详解】（1），与的夹角为或，当时，当时，综上所述，；（2），即，向量的夹角的范围是，【点睛】本题考查根据向量的平行、垂直求解向量的夹角以及向量数量积公式的运用，难度较易.注意共线向量的夹角为或.20、（1）（2）【解析】（1）由数列的递推公式得到和的关系式，进而推导出满足的关系式，进而求得数列的通项公式；（2）的通项公式是由等差数列的项乘以等比数列的项，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前n项和.【详解】（1）由题意，知，则，即，又由，所以，所以，所以，.（2）由（1）知：，两式相减得：.【点睛】本题主要考查数列的递推公式的应用、以及“错位相
