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1、 线段的定比分点公式的应用一、难点知识剖析 （一）、在运用线段的定比分点坐标公式时，要注意(x1，y1)是起点的坐标，(x2，y2)是终点的坐标，(x，y)表示分点的坐标，在每个等式中涉及到四个不同的量，它们分别表示三个坐标和定比，只要知道其中任意三个量，便可求第四个量 （二）、如何确定定比分点坐标公式中的 1、由坐标确定：2、由确定：先求（不能错误的表示为）再据与的方向决定的符号 例：设点P（，点P是直线 上任意一点，且满足 ，求点P的坐标.（三）、特殊情况的分析 1、0时，分点P与起点P1重合 2、1时，分点P为线段P1P2的中点 3、不可能等于1（若1，则P1、P2重合，与P1P2为线段
2、矛盾） (，1)(1，) 4、无论取何实数（当然1）分点P不可能与终点P2重合 二、例题讲解 例1、已知点A分有向线段的比为2，求下列定比：（1）A分的比；（2）B分的比；（3）C分的比 分析：本题直接用公式计算不太方便，若画出图表就一目了然 解答：因为 A分的比为2，所以A在BC之间，且|BA|2|AC|（如图所示） 例2、已知P分所成的比为，O为平面上任意一点， 求证：线段定比分点向量公式证明： P分所成比为， 例3、已知三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D点内分的比为，E在BC上，且使BDE的面积是ABC面积的一半，求向量的坐标（提示：三角形面积等于两边与其夹角正
3、弦乘积的一半） 分析：要求的坐标，就要求D点的坐标，也要求E点的坐标由于E点在线段BC上，且已知B、C两点的坐标，因此我们只要能确定E分有向线段的比，应用定比分点公式就能求出E点的坐标，将E点坐标减去D点的坐标就可得到向量解答：如图所示， D点内分的比为， 设E分有向线段的比为， 由题设条件可知：例5已知、不共线，将符合下列条件的向量写成的形式：（1）点分所成的比，求；（2）点分所成的比，求. 分析：借助定比分点的概念解题。 解：（1）由，得， 即 . 故 ， 即 . （2）由上可知即 . 小结：本题从表面上看不涉及分点的坐标问题，但利用定比分点的概念，导出了这个与定比有关的等式，这实际上是定
4、比分点坐标公式的另一种表现形式，即向量形式. 值得注意的是，这个等式在解决与向量有关的一些数学问题时很有用处。例6、如图所示，已知直线过点和点，与轴，轴交于点和点求：点分所成的比，点的坐标分析：设点，则可由可求得的值同样方法可求点分所成的比再用定比分点坐标公式，求得解：设点，点分所成的比设点分所成的比为，同理可得点坐标是小结：记住定比分点坐标公式，要注意起点坐标在前不乘以本题也可以这样求点分所成的比，设，根据定比分点坐标分式得 解之在求时也要注意讨论如已知点在直线上，且，求点分所成的比（1）当点在、之间时，；（2）当点在延长线上时，.例7、如图所示，已知矩形中，点是边的中点，连结与矩形的对角线
5、交于点，求点坐标分析：点在上，若知道点分所成的比，则可根据定比分点坐标公式可求点坐标，由题意知且，由此知，即点分所成的比解：四边形是矩形，是边的中点，且即点分所成的比设由，根据定比分点坐标公式得，点坐标是小结：同理点分所成的比，由此可求得点坐标是，再由中点坐标公式可求得点坐标是在直角坐标系中，求点的坐标，定比分点坐标公式是重要的思想和和工具点和点坐标，也可根据和求得，当然点坐标也可根据求得，即，所以解之，例8若直线与连接、两点的线段有交点，求实数的取值范围分析：当直线与线段有交点时，这个交点分有向线段所成的比不小于0，从而得到关于的不等式，但应注意考虑端点的情况 解：当直线过点时，有，. 当直
6、线过点时，有，. 当直线与线段的交点在、之间时，设这个交点分的比为，它的坐标为，则，. 而直线过点，则， 整理，得. 由，得，解得或. 故所求实数的取值范围为或。 小结： (1)定比的符号是求解本题的关键应当注意，当点在线段上时，；当点在线段或的延长线上时，. 切不可将之混为一谈（2）恰当地利用定比的几何意义，可以解决某些看似与定比分点坐标公式无关的数学问题例9已知的三顶点坐标分别为，直线，交于，且直线平分的面积，求点坐标 分析：本题是平面几何知识与定点分点公式的综合应用题，解题时，应先确定分的比，再利用公式求解解：设直线交于，依题意，又因为，故，所以， 即点分的比为 设的坐标为，由定比分点公
7、式有， 点的坐标为 小结：求解定比分点坐标的关键是求出定比的值 求的值，除注意的符号外，还常常用到平面几何知识，如相似形的性质，比例线段等等例10已知，且，求点、的坐标. 分析：借助线段的定比分点式求解. 解：设，. 由，可得，即，. 运用定比分点公式可知 仿上可求得 ， 综上可知，欲求、两点坐标为，. 小结：对于本题欲求点的坐标时，也可以由，得到，从而由定比公点公有得，. 同理，也可以由求得点坐标，这表明，我们在利用定点比分点公式时，既要注意使用公式的前提，同时也要注意灵活地使用公式。例11 、已知的三个顶点的坐标为，边的中点分别为，且的重心为G，求：（1）；（2）；（3）；（4）分析 解此
8、题可首先利用中点坐标公式分别求得各边中点的坐标，再利用三角形重心G的坐标公式求得G的坐标，最后利用平面向量坐标表示及运算法则计算所求的向量解 ，且分别为的中点，G为的重心，重心，即（1）（2），（3）（4）小结：本题中的（3），（4）具有一般性，我们将在例5中作一般结论的推证，另外结论（3）与（4）本身有着必然的联系，因为G为的重心，AE是的中线，故三点共线，而且，即，同理故 例12.已知，求证：。证明：设是数轴上的三点，则 是的内分点，在-1与1之间，即。例13.已知求证：。证明：设是数轴上的三点，定比分点，则定比 的外分点，则 。对于函数y=f(x),如果能够化为，就与的形式完全相同（只须
9、把t(x)看成），用数轴上两点P1、P2分别表示m、n，不妨设m0时，myn;当t(x)=0时，y=m;当t(x)0时，ym 。 例14.已知二次函数f(x)满足条件：(1) f(-1)=0；(2)对一切xR，都有成立，求f(x)的解析式。本题如果应用函数、根的判别式、基本不等式等知识来解题的话,过程比较繁琐，有些学生因为综合能力差，听完讲解后仍然似懂非懂，但如果运用定比分点公式解题则非常简单：解：由,可设数轴上的点P1(x,0)、P(f(x),0)，,且， 则f(x)=，因为f(1)=0 ,所以,解得 1， 所以 。 三、定比分点公式的类比推理从定比分点公式的结构形式来看，它与平面几何中的平
10、行于梯形、三角形底边的截线问题，立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题以及数列中的通项公式、前n项和与项数n的关系等问题，具有很明显的相似之处。1平面几何中的定比分点：命题1：设梯形ABCD的上、下底边长分别为l1、l2 若平行于底边的截线EF把梯形的腰（高）分成上、下两部分之比为（-1），则EF的长l=(0)。特别地，（1）当l1=l2时，条件为一平行四边形，结论仍成立；（2）当l1=0时，条件为一三角形，结论仍成立；（3）当1时，即可得到梯形的中位线公式。证明：设BA的延长线与CD的延长线交于O，由三角形相似可得由（1）（2）可得。依照命题1的推导方法，不难证明出以下命题：命题1：设梯
11、形ABCD的上，下底边长分别为l1,l2，若平行于底边的截线EF把梯形的面积分成上下两部分之比为，则有（特别当l1=0梯形退化为一个三角形时，结论为=仍成立。）2、立体几何中的定比分点：命题2 ：设棱台的上、下底面积分别为S1、S2，平行于底面的截面的面积为S0，此截面到上底面距离与它到下底面距离的比为，则有： 。特别地，当1时，。证明：将棱台补成棱锥，设所补的小棱锥的高为x，截面到上、下底面的距离分别为h和h，则由截面性质定理可得：从而有： (1) (2), 由(1) (2)得即：依照公式2的推导方法，不难证明出以下两公式：命题2:设棱台的上、下底面积分别为S1、S2，平行于底面的截面的面积
12、为S0，若此截面将棱台的侧面分成的上、下两部分的面积之比为，则有命题2”: 设棱台的上、下底面积分别是S1、S2，平行于底面的面积为S0若此截面将棱台分成的上、下两部分的体积比为，则有注：以上三个公式，对于圆台也同样成立上述三个“定比分点”公式，形式整齐，结构对称，富有美感，便于记忆；而且在求解立体几何的有关问题时，有着广泛的应用。3数列中的定比分点：命题3：设是等差数列，其中ap、am、an，满足则。证明：ap=a1+(p-1)d ， am=a1+(m-1)d ， an=a1+(n-1)d（其中a1、d分别是等差数列的首项与公差）将ap、am、an 代入 中可得 命题3:设是等差数列，n是数
13、列的前n项和，其中p、m、n满足（），则。证明：因为 =那么S=An2+Bn，即，所以数列是等差数列，由命题3，即有。高二数学讲义第十四讲（130802）课后作业（本试卷共14题，时间45分钟，满分100分）班级： 姓名： 一、选择填空题(每小题5分,共12个小题,共60分)1、已知P点分有向线段所成的比为，则点B分有向线段所成的比为（ ） AB CD2、设点P在有向线段的延长线上，P分所成的比为，则（ ） A1 B10 C01 D1 3、连结点A(2，3)、B(7，2)得线段AB，再延长到点C(x，y)，使，则点C的坐标是（ ） A(12，7) B(12，7) C(12，7) D(12，7) 4、已知点A(1，2)、B(4，5)，点C(2，3)分线段AB成两部分，其中，则的值是（ ） AB CD5、如果ABC的顶点坐标分别是A(4，6)、B(2，1)、C(4，1)，则重心的坐标是（ ） A(2，1)B(2，2) C(1，2)D(2，4) 6、若点A分的比和点C分的比恰好互为倒数，则点B分的比为（ ） A1
