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1、第四十二讲 函数的最大值与最小值 我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题 1一次函数的最大值与最小值一次函数y=kxb在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了例1 设a是大于零的常数，且a1，求y的最大值与最小值大值a例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件xyz=30，3x+y-z=50求u=5x4y2z的最大值和最小值分析 题设条件给
2、出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了解 从已知条件可解得y=40-2x，z=x-10所以u=5x4y+2z 5x4(40-2x)2(x-10)=-x+140又y，z均为非负实数，所以解得10x20由于函数u=-x140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值1202二次函数的最大值与最小值例3 已知x1，x2是方程x2-(k-2)x(k2+3k+5)=0解 由于二次方程有实根，所以=-(k-2)2-4(k2+3k+5)0，3k216
3、k160，例4 已知函数有最大值-3，求实数a的值 解 因为的范围内分三种情况讨论-a24a-1-3例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图312)，其中AF=2，BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积解 设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积S=xy，2X4易知CN=4-x，EM=4-y，且有二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2x4的S来说，当x=4时有最大值 例6 设p0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(
4、x)+g(x)=x2+16x+13求g(x)的解析式和p的值解 由题设知f(p)=5，g(p)=25，f(p)g(p)=p216p13，所以 p216p+13=30，p=1(p=-17舍去)由于f(x)在x=1时有最大值5，故设f(x)=a(x-1)2+5，a0，所以g(x)=x2+16x+13-f(x)=(1-a)x2+2(a8)x8-a由于g(x)的最小值是-2，于是解得a=-2，从而g(x)=3x212x103分式函数的最大值与最小值法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值解 去分母、整理得(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3
5、)=00，即=2(y+1)2-4(2y-1)(y3)0，解得-4y1时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1说明 本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值解 将原函数去分母，并整理得yx2-ax(y-b)0因x是实数，故=(-a)2-4y(y-b)0，由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以(y+1)(y-4)0，即y2-3y-40 由，得 所以a=4，b=34其他函数的最大值与最小值处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界解 先估计y的下界又
6、当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1说明 在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了例如，本题我们也可以这样估计：但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值例10 设x，y是实数，求u=x2xy+y2-x-2y的最小值分析 先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1例11 求函数的最大值，并求此时的x值，其中a表示不超过a的最大整数练习七1填空：(1)函数y=x22x-3(
7、0x3)的最小值是_，最大值是_ (3)已知函数y=x2+2ax+1(-1x2)的最大值是4，则a=_是_(5)设函数y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是M，为使M最大，k=_2设f(x)=kx1是x的函数，以m(k)表示函数f(x)=kx1在-1x3条件下的最大值，求函数m(k)的解析式和其最小值3x，y，z是非负实数，且满足x3y2z=3，3x3yz=4求u=3x-2y+4z的最大值与最小值4已知x22y2=1，求2x5y2的最大值和最小值交点间的距离的平方最小，求m的值6已知二次函数y=x22(a3)x2a4的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为，当实数a变动时，求(-1)2(-1)2的最小值
