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1、1.已知函数的图象如图所示(I)求的值;(II)若函数在处的切线方程为,求函数的解析式;(III)在(II)的条件下,函数与的图象有三个不同的交点,求的取值范围2.已知函数(I)求函数的单调区间;(II)函数的图象的在处切线的斜率为若函数在区间(1,3)上不是单调函数,求m的取值范围3.已知函数的图象经过坐标原点,且在处取得极大值(I)求实数的取值范围;(II)若方程恰好有两个不同的根,求的解析式;(III)对于(II)中的函数,对任意,求证:4.已知常数,为自然对数的底数,函数,(I)写出的单调递增区间,并证明;(II)讨论函数在区间上零点的个数5.已知函数(I)当时,求函数的最大值; (I
2、I)若函数没有零点,求实数的取值范围6.已知函数 (I)讨论函数的单调性; (II)证明:若7.设曲线:(),表示导函数(I)求函数的极值;(II)对于曲线上的不同两点,求证:存在唯一的,使直线的斜率等于8.定义,(I)令函数,写出函数的定义域;(II)令函数的图象为曲线C,若存在实数b使得曲线C在处有斜率为8的切线,求实数的取值范围;(III)当且时,求证9.(全国卷22)(本小题满分14分)已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函数f(x)的最大值;(ii)设0ab,证明0g(a)+g(b)-2g()a;(3)记(n=1,2,),求数列bn的前n项和Sn。14.
3、 (2009福建卷理)(本小题满分14分)已知函数,且,求: (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间; (2)令,设函数在处取得极值,记点M (,),N(,),P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势,并解释以下问题:(I)若对任意的m (, x),线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点,试确定t的最小值,并证明你的结论;(II)若存在点Q(n ,f(n), x n m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点,请直接写出m的取值范围(不必给出求解过程)15.设二次函数,方程的两根和满足(I)求实数的取值范围;(II)试比较与的大小并说明理由 16.
4、(2009宁夏海南卷理)(本小题满分12分)已知函数 (1)如,求的单调区间;(2)若在单调增加,在单调减少,证明6. 17.已知函数(1) 若函数图象上任意不同两点连线的斜率都小于1,则;(2) 若0,1,函数图象上任一点切线的斜率为,求时的取值范围。参考答案:1解:函数的导函数为 (2分)(I)由图可知 函数的图象过点(0,3),且得 (4分)(II)依题意 且 解得 所以 (8分)(III)可转化为:有三个不等实根,即:与轴有三个交点; ,+0-0+增极大值减极小值增 (10分)当且仅当时,有三个交点,故而,为所求 (12分)2解:(I)(2分)当当当a=1时,不是单调函数(5分) (I
5、I)(6分)(8分)(10分)(12分)3.解:(I)由,因为当时取得极大值,所以,所以;(4分)(II)由下表:+0-0-递增极大值递减极小值递增 依题意得:,解得:所以函数的解析式是: (10分)(III)对任意的实数都有在区间-2,2有:函数上的最大值与最小值的差等于81,所以(14分)4解:(I),得的单调递增区间是, (2分),即 (4分)(II),由,得,列表-0+单调递减极小值单调递增当时,函数取极小值,无极大值 (6分)由(I), (8分)(i)当,即时,函数在区间不存在零点(ii)当,即时 若,即时,函数在区间不存在零点 若,即时,函数在区间存在一个零点; 若,即时,函数在区
6、间存在两个零点;综上所述,在上,我们有结论:当时,函数无零点;当 时,函数有一个零点;当时,函数有两个零点 (12分)5解:(I)当时,定义域为(1,+),令, (2分)当,当,内是增函数,上是减函数当时,取最大值 (4分)(II)当,函数图象与函数图象有公共点,函数有零点,不合要求; (8分)当, (6分)令,内是增函数,上是减函数,的最大值是, 函数没有零点,因此,若函数没有零点,则实数的取值范围(10分)6.(1)的定义域为, 2分(i)若,则 故在单调增加(ii)若 单调减少,在(0,a-1), 单调增加(iii)若 单调增加(II)考虑函数 由 由于,从而当时有 故,当时,有7.解:
7、(I),得当变化时,与变化情况如下表:0单调递增极大值单调递减当时,取得极大值,没有极小值; (4分)(II)(方法1),即,设,是的增函数,;,是的增函数,函数在内有零点, (10分)又,函数在是增函数,函数在内有唯一零点,命题成立(12分)(方法2),即,且唯一设,则,再设,在是增函数,同理方程在有解 (10分)一次函数在是增函数方程在有唯一解,命题成立(12分)注:仅用函数单调性说明,没有去证明曲线不存在拐点,不给分8.解:(I),即 (2分)得函数的定义域是, (4分)(II)设曲线处有斜率为8的切线,又由题设存在实数b使得 有解, (6分)由得代入得, 有解, (8分)方法1:,因为,所以,当时,存在实数,使得曲线C在处有斜率为8的切线(10分)方法2:得, (10分)方法3:是的补集,即 (10分)(III)令又令 ,单调递减. (12)分单调递减, , (14分) 9.(I)解:函数