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1、习题课抛物线的综合问题及应用1.已知抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,过F作倾斜角为30的直线,与抛物线交于A,B两点,若|AF|BF|(0,1),则|AF|BF|=()A.15B.14C.13D.12解析:因为抛物线的焦点为0,p2,直线方程为y=33x+p2,与抛物线方程联立得x2-233px-p2=0,解方程得xA=-33p,xB=3p,所以|AF|BF|=|xA|xB|=13.故选C.答案:C2.设抛物线y2=8x的准线与x轴相交于点Q,若过点Q的直线与抛物线有公共点,则此直线的斜率的取值范围是()A.-12,12B.-2,2C.-1,1D.-4,4解析:准线x=-2,Q(-2,0
2、),设y=k(x+2),由y=k(x+2),y2=8x,得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,当k=0时,x=0,即交点为(0,0);当k0时,由0,得-1k0或00)上的两点,O为原点.若|OA|=|OB|,AOB的垂心恰为抛物线的焦点F,则直线AB的方程是()A.x=pB.x=3pC.x=32pD.x=52p解析:由抛物线的对称性,知A,B两点关于x轴对称.设A点坐标为(x1,y1),则B点坐标为(x1,-y1).抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为Fp2,0,由F是AOB的垂心,知AFOB,因此kAFkOB=-1,即y1x1-p2-y1x1=-1.由点A在抛物线上,得y12=2px
3、1.将代入,得x1=5p2,故直线AB的方程为x=52p.答案:D4.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.解析:依题意可知,机器人行进的轨迹方程为y2=4x.设斜率为k的直线方程为y=k(x+1),联立y=k(x+1),y2=4x,消去y,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.由=(2k2-4)2-4k41,解得k1.答案:(-,-1)(1,+)5.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,|AF|=2,则|BF|=.解析:设点A,B的横坐标分别是x1,x2,则
4、依题意有焦点F(1,0),|AF|=x1+1=2,x1=1,直线AF的方程是x=1,此时弦AB为抛物线的通径,故|BF|=|AF|=2.答案:26.导学号过点P(2,2)作抛物线y2=3x的弦AB,恰被P所平分,则AB所在的直线方程为.解析:方法一:设以P为中点的弦AB端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则有y12=3x1,y22=3x2,x1+x2=4,y1+y2=4.-,得(y1+y2)(y1-y2)=3(x1-x2).将代入得y1-y2=34(x1-x2),即34=y1-y2x1-x2,k=34.所求弦AB所在直线方程为y-2=34(x-2),即3x-4y+2=0.方法二:设弦
5、AB所在直线方程为y=k(x-2)+2.由y2=3x,y=k(x-2)+2,消去x,得ky2-3y-6k+6=0,此方程的两根就是线段端点A,B两点的纵坐标,由韦达定理和中点坐标公式,得y1+y2=3k,又y1+y2=4,k=34.所求弦AB所在直线方程为3x-4y+2=0.答案:3x-4y+2=07.已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为.解析:由于P,Q为抛物线x2=2y,即y=12x2上的点,且横坐标分别为4,-2,则P(4,8),Q(-2,2),从而在点P处的切线斜率k1=4.据点斜式,得曲线在点
6、P处的切线方程为y-8=4(x-4);同理,曲线在点Q处的切线方程为y-2=-2(x+2).将这两个方程联立,解得交点A的纵坐标为-4.答案:-48.导学号抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135的直线,被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.解如图所示,依题意设抛物线方程为y2=2px(p0),则直线方程为y=-x+12p.设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+p2+x2+p2,即x1+p2+x2+p2=8.又A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,由y=-x+12p,
7、y2=2px消去y,得x2-3px+p24=0,x1+x2=3p.将其代入得p=2,所求抛物线方程为y2=4x.当抛物线方程设为y2=-2px时,同理可求得抛物线方程为y2=-4x.9.导学号如图,设点A和B为抛物线y2=4px(p0)上原点以外的两个动点,已知OAOB,OMAB.求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.解点A,B在抛物线y2=4px上设AyA24p,yA,ByB24p,yB,OA,OB的斜率分别为kOA,kOB,所以kOA=4pyA,kOB=4pyB,由OAOB,得kOAkOB=16p2yAyB=-1,又点A在AB上,得直线AB方程为(yA+yB)(y-yA)=4px-yA24p,由OMAB,得直线OM方程为y=yA+yB-4px,设点M(x,y),则x,y满足,两式,将式两边同时乘以-x4p,并利用式,可得xyA24p-xy4p-4pyx+xyAyB4p=-x2+xyA24p,整理得x4pyAyB+(x2+y2)=0,由式知,yAyB=-16p2,所以x2+y2-4px=0,因为A,B是原点以外的两点,所以x0.所以M的轨迹是以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆去掉坐标原点.
