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1、专题 解排列组合应用题的常用策略 1、相邻排列捆绑法：n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有种排法然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有种方法由乘法原理得符合条件的排列，共种例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（ ）A、60种 B、48种 C、36种 D、24种1、解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？2、解：先把3名女生作为
2、一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有种排法；女生内部的排法有种，男生内部的排法有种故合题意的排法有种2.相离排列插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将n个不同元素排成一排，其中k个元素互不相邻，有多少种排法？先把个元素排成一排，然后把k个元素插入个空隙中，共有排法种例3 五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种？3、解：先把科学家作排列，共有种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有种排法，故符合条件的站法共有种站法例4.七位同学并排站成一行
3、，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种4、解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.变式：一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有 种坐法。变式 3、定序问题-倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法.将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？n个不同元素排列成一排，共有种排法；k个不同元素排列成一排共有种不同排法于是，k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的分之一故符合条件的排列共
4、种例5.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种5、解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.例6. A，B，C，D，E五个元素排成一列，要求A在B 的前面且D在E的前面，有多少种不同的排法？6、解：5个不同元素排列一列，共有种排法 A，B两个元素的排列数为；D，E两个元素的排列数为因此，符合条件的排列法为种4、标号排位问题-分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例7.将数字1，2，3，4填入标号为
5、1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A、6种 B、9种 C、11种 D、23种7、解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有331=9种填法，选.5、有序分配问题-逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例8.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种（2）学生会的12名同学分配到三个不
6、同的年级对同学们进行仪容仪表检查，若每个年级4人，则不同的分配方案有（ ）A、种 B、种 C、种 D、种8、（1）解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种，选.（2）答案：先从12人中选出4人到第一个年级，再从剩下的8人中选4人到第二个年级，第三步从剩下的4人中选4人到第三个年级，不同的选法共有种，选.6、平均分堆问题-除序法:例9. 12本不同的书，平均分为3堆，不同的分法种数为多少种。9、解：先从12本书中选出4本到第一堆，再从剩下的8本中选出4本到第二堆，第三步从剩下的4本中选4本到第三堆，但题中
7、是不要堆序，所以不同的分法共有种。7、全员分配问题-分组法:例10.（1）4名优秀学生全部保送到3所大学去，每所大学至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A、480种 B、240种 C、120种 D、96种10、（1）解析：先分组再分配。把四名学生分成3组有种方法，再把三组学生分配到三所大学有种，故共有种方法. 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）答案：.8、名额分配问题-隔板法:例11：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？11、解析：10个
8、名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为9、限制条件的分配问题-分类法:例12. 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？12、解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，再在每类中进行安排工作，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方法，所以共有；若乙参加而甲不参加同理也有种；若甲乙都参加，
9、则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种先分类再分步10、多元问题-分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例13（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种（2）从1，2，3，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从1，2，3，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？13、（1）解
10、析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，个，合并总计300个,选.(2)解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做共有86个元素；由此可知，从中任取2个元素的取法有，从中任取一个，又从中任取一个共有，两种情形共符合要求的取法有种.(3)解析：将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集；能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，能被4除余3的数集，易见这四个集合中每一个有25个元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从中任取两个
11、数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种.先分类再分步11、交叉问题-集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式.例14. 从6名运动员中选出4人参加4100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？14、解析：设全集=6人中任取4人参赛的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：种.12、定位问题-优先法：有限制条件，某个或几个元素要排在指定位置，通常要优先考虑这个或几个元素受限位置或受限元素，再排其它的元素。若反面情况较为简单时，则用排除法求解例15. 乒乓球队的10名
12、队员中有3名主力队员，现要派5名参加比赛，3名主力队员均上场且安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_种（用数字作答）15、解：由题意，先安排3名主力队员在第一、三、五位置，有种；再安排其余7名队员选2名在第二、四位置有种；由乘法原理，得不同的出场安排共有种16、解析：老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。例16. 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？.13、多排问题-单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例17.（1）6个不同的元素排成前后两排，
13、每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？17、（1）解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种，选.（2）解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.14、“至少”“至多”问题-间接排除法或分类法:例18.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有
14、 （ ）A、140种 B、80种 C、70种 D、35种8、解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种,选.解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有台,选.15、选排问题-先取后排法：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例19.（1）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？19、（1）解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每次排3个有种，故共有种.（2）解析：先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有中排法，故共有种.16、部分合条件问题-排除法：在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例20.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）A、70种 B、64种 C、58种 D、52种（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）A、150种
