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1、第三章 导数与微分这一章和下一章两章是关于一元函数的微分学部分。本章主要讨论导数的概念、性质、运算。对于函数的微分，在理论上和系统上都是更主要的概念，但却用的篇幅不多，似乎有点宣宾夺主。若注意到函数的可微性和可导性等价，函数微分性的许多内容都是基于导数的。第一节 导数的概念一、问题的提出历史上，建立微积分的两个重要人物；英国的Newton和德国的Leibniz，他们虽然地处两地没有来往，分别从不同的物理和几何的角度提出了同一个问题，就是函数的导数的概念。1、英国的Newton从物理的角度提出质点运动的瞬时速度。运动学中质点位移S是时间的函数。在匀速运动时，时段上的平均速度。而在变速运动时，显然
2、速度也是时间的函数。那么时点的瞬时速度该如何刻划呢？Newton用极限的思想将其定义为：2、德国的Leibniz从几何的角度提出平面曲线的切线的问题。平面几何曲线在一点处切线该如何刻划？切线是条直线，在一点处只要知道其斜率就可确定。可见这个问题的关键是定义切线的斜率。在曲线上任意取一个动点，则M、P两点确定了原曲线的一条割线。它的斜率为：。当动点M沿曲线向P点逼近的极限位置就是P点处的切线，它的斜率应为：。二、导数的概念1、函数在一点处导数的定义。定义：对于在其定义域内一点处给一自变量增量 对应得到函数增量,若在下与之比的极限存在，则称此极限值为在点导数值，称在点可导，记为：。说明：1）导数即
3、是“差商的极限”。2）极限值是一个确定的实数。点的导数值的表达有几种形式：，或，等，2、区域上的导函数定义：若函数在D上点是可导为的导函数。3、导数的几何意义 在点导数值就是曲线在点的切线的斜率。三、函数可导性与连续性之关系1、定理：可导必连续，连续未必可导。第二节 求导运算微分法思路。先按定义寻求基本初等函数的求导公式，再讨论函数运算的求导法则，综合即可解决任意初等函数的求导问题。1、基本初等函数的导数公式基本初等函数有幂、指、对、三角、反三角五大类若干函数，求导公式为：1） ，补充：，2） 显然 3），显然 4）5）6）7）8）9）10），11），二、求导运算关于函数运算的性质、关于四则运
4、算定理：若函数都可导，则 说明：特别是乘法： 、反函数求导法则定理：反函数的导数与原来函数的导数互为倒数，即的反函数为，则 、复合函数求导法则定理：复合函数，则 或 推广：如果一个函数有三次复合，若，则复合函数的导数为所以常把它称为链锁规则。例：解：可看成 则：4、总结 这一套体系我们称为微分法。由此体会到对于初等函数做求导运算有多方便。它把求导这种求型极限的问题转换成了利用基本公式表结合运算法则的相对简单且机械的演算问题，稍加练习后就能熟练。熟记基本导数表及运算法则是最基本的，这里的难点是复合函数求导法则的灵活运用。5、初等函数的求导运算举例例1： 解：例2： 解：例3： 解：例4： 解：第
5、三节 高阶导数函数可导，则其导函数是一个新的函数。若仍然可导，又可对其求导数，即是原来的二阶导数，以次类推可得n阶导数。在实际问题中，高阶导数是很普遍。例如运动学中，位移是时间的函数,其速度函数为其导数。而加速度就是位移的二阶导数。 第四节 微分这一节的主要内容是：1）微分的概念，微分与导数的关系。2）微分的运算。一、微分的概念定义：若函数在有定义点近旁取，其函数增量能分解成关于的线性主部与其高阶无穷小之和，即（A是与无关的常数），则称在点可微，称线性主部为在点的微分，记为。二、微分和导数的关系定理：可微性等价于可导性。且：三、微分的运算 由前面的分析，微分运算就是在求导运算基础上的一种书写形
6、式，所以初等函数的微分法可以平行地推广过来。对应基本导数表可得基本微分表以及相应的函数运算的微分法则。但要强调说明的是，认识这些基本公式时，从学习的角度，必须要求大家能逆向记忆。要求大家还要熟练地由右至左记忆，例如， 答案： 或 在这里记忆上多花点力气，为今后在积分的运算时奠定好基础。第四章 导数的应用三、函数的动态研究内容：1、函数的单调性和极值性 2、函数的凹凸性和拐点 3。函数的渐近线 一、函数的单调性1、函数单调的判别定理：若在D上可微，在D上递增（递减）的充要条件是：（）。2、函数单调性的应用证明不等式例：试证不等式：证明：设，则注意在时，所以，即在时严格增。又所以 证毕。二、函数的
7、极值性定义：若，都有，则称为的极大值点，为极大值。f（x1）f（x2） x1 x2同理,若，则为极小值点, 为极小值。说明：函数的极值从几何上看是 平面曲线沿Y方向上下波动的峰(极大值)和谷(极小值)，见图极值概念是局部性概念。某极小值完全可能大于另一个极大值。而极值点处正好是曲线由增到减(或由减到增)的分界点，所以讨论函数的极值性有广泛的意义。函数的极值实现在其极值点处，可见讨论函数极值性的主要矛盾集中在求极值点上。极值点的求取和判别1）驻点(或称稳定点)的定义定义：若在上可导且，则称为的驻点。但注意：驻点和极值点并不等价。驻点可以不是极值点，例：在点处，。所以是驻点。但由立方抛物线上可见点
8、不是极值点。另外，极值点也可以不是驻点，例：在点处不可微是尖角点根本谈不上求导，但它确是函数的极小值点。4、极值点的判别1）必要条件：无之必不然，有之未必然。充分条件：有之必然，无之未必不然。充要条件：有之必然，无之必不然，。2）极值点的求取：极值点的必要条件是： 极值点驻点不可微点 即若是的极值点且处函数可微，它必是驻点。而极值点也可在不可微的尖角处实现。另一方面，驻点可能不是极值点，不可微点也可能不是尖角点。必要条件是大大缩小了寻找的范围。以下我们仅在这个小范围上用充分条件去验证了。3)定理：若在上可微，动点由左到右过点时，的符号右正到负，则为极大值点。若的符号由负到正，则为极小值点。定理
9、： 若在上二阶可微, 当时, 为极大值点。当时, 为极小值点。四、函数的凹凸性和拐点曲线的变化不仅仅是增减，更细致一点；到底动点运动轨迹是凸的增减呢还是凹的增减？1、曲线凹凸的判别若曲线在上每点的二阶导数都存在，则为凸，为凹。2、拐点的概念定义：曲线凹凸的分界点被称为拐点。拐点的判别若点处的二阶导存在；3、举例例1： 可验知在点处，所以点处为的极小值点。例2： 可验知在处，所以为的拐点。六、函数的作图函数作图的一般步骤：对于函数1、由函数解析式本身要讨论1）确定定义域D2）若定义域D关于原点对称，有必要讨论奇偶性，奇（偶）函数的对称性可以简化作图讨论过程。2、由函数的导函数，可讨论函数的单调区
10、间和极值。3、由其二阶导函数，可讨论函数的凹凸性和拐点。运用举例：例：全面讨论函数，并作图。解：1）定义域为全体实数。是偶函数，y=0 是水平渐近线。 2）可得唯一驻点；3）x0y1 极大拐点+由此可得图形；二、最值问题1、函数的最值和极值的区别极值概念是一个局部性概念，而最值是一个整体性概念。 2、最值问题讨论最值点的求取最值点可能出现在定义区间的端点（界点）处，例如严格单调函数。（严格增函数左端点为最小值点，右端点为最大值点），若函数不单调，最值点取到内点时，此点必是极值点。3、实际运用中的一种特殊情况在实际工作中特别是经济活动中，大量的现象都属此类，这类问题的最值讨论可以很简单。定理：1）若函数的实际背景具有最值性，2）若D的边界是模糊的，3）若函数可微且仅有一个驻点，则：该驻点必为其最值点。
