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1、 .第八篇 二次函数的图像及性质【考纲传真】 1. 理解二次函数的有关概念 2会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质 3会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能掌握二次函数图象的平移 4熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题 5会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 【复习建议】 二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查【考点梳理】考点一
2、二次函数的概念 一般地，如果yax2bxc(a，b，c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数注意：(1)二次项系数a0；(2)ax2bxc必须是整式；(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；(4)自变量x的取值范围是全体实数考点二 二次函数的图象及性质 考点三 二次函数图象的特征与a，b，c及b24ac的符号之间的关系考点四 二次函数图象的平移 抛物线yax2与ya(xh)2，yax2k，ya(xh)2k中|a|相同，则图象的形状和大小都相同，只是位置的不同它们之间的平移关系如下表：考点五 二次函数的应用 设一般式：yax2bxc(a0) 若已知条件是图象上三个点的
3、坐标，则设一般式yax2bxc(a0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值 考点六 二次函数与方程不等式之间的关系 1二次函数yax2bxc(a0)，当y0时，就变成了ax2bxc0(a0) 2ax2bxc0(a0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标 3当b24ac0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当b24ac0时，抛物线与x轴有一个交点；当b24ac0时，抛物线与x轴没有交点【典例探究】考点一 二次函数的概念 【例1】下列各式中，y是x的二次函数的是（）Axy+x2=2 Bx2-2y+2=0 Cy= Dy2-x=0【变式1】若y=（m+1）是二次函数，则m的值为 考点二 根据实际问题列二次函数
4、关系式【例2】图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（） A B C D【变式2】如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AEEF设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（）A B C D考点三 二次函数对称轴、顶点、与坐标轴的交点【例3】已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A B C D【变式3】抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，若y0，则
5、x的取值范围是 考点四 二次函数图象的平移【例4】二次函数y2x24x1的图象怎样平移得到y2x2的图象( ) A向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D向右平移1个单位，再向下平移3个单位【变式4】已知二次函数y=- （1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，写出当y0时，x的取值范围； （3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式 考点五 二次函数的应用【例5】九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1x90）天的售价与销量的相关信息如下表
6、：时间x（天）1x5050x90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200-2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元 （1）求出y与x的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果 【变式5】如图，已知抛物线y=x2-x-6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sinOCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值考点六 二次函数与方程及不等式之间的关系【例6】如图，二次函数的图象与x轴
7、交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D （1）请直接写出D点的坐标 （2）求二次函数的解析式 （3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围【变式6】如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式x2+bx+cx+m的解集（直接写出答案）【课堂小结】1将抛物线解析式写成ya(xh)2k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x h，也可应用对称轴公式，顶点坐标（）来求顶点坐标及对称轴 2比较两个二次函数值大小的
8、方法： (1)直接代入自变量求值法； (2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断 3根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性解题时应注意开口方向与a的关系，抛物线与y轴的交点与c的关系，对称轴与a，b的关系，抛物线与x轴交点数目与b2-4ac的符号的关系；当x=1时，决定a+b+c的符号，当x=-1时，决定a-b+c的符号在此基础上，还可推出其他代数式的符号运用数形结合的思想更直观、更简捷 4二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式
9、转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作 5运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是： (1)列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 (2)在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值【课堂练习】1、下列函数中，哪些是二次函数？（1）（2）（3）（4）2、二次函数的图象开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ；3、当k为何值时，函数为二次函数？画出其函数的图象3、函数，当为 时，函数的最大值是 ；4、二次函数，当 时， ;且随的增大而减小； 5、如
10、图，抛物线的顶点P的坐标是(1，3)，Y则此抛物线对应的二次函数有（ ）(A)最大值1 (B)最小值3O(C)最大值3 (D)最小值1 X P6、已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图3所示，给出以下结论： a+b+c0； a-b+c0； b+2a0； abc0 . 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 7一次函数的图象过点（，1）和点（，），其中 1，则二次函数的顶点在第 象限；8、对于二次函数为y=xx2，当自变量x0时，函数图像在 （ ）(A) 第一、二象限 (B) 第二、三象限 (C) 第三、四象限 (D) 第一、四象限9、已知点A（1,）、B（）、C（）在函数上
11、，则、的大小关系是A B C D 10、直线不经过第三象限，那么的图象大致为 （ ）y y y yOOO x x x O x ABCD11、若二次函数的最大值为，则常数；12、若二次函数的图象如图所示，则直线不经过 象限；13、（1）二次函数的对称轴是 （2）二次函数的图象的顶点是 ，当x 时，y随x的增大而减小（3）抛物线的顶点横坐标是-2，则= 14、抛物线的顶点是，则、c的值是多少？15.抛物线的对称轴是，且过（4，4）、（1，2），求此抛物线的解析式；【课后作业】一、选择题1二次函数y=x2+2x-7的函数值是8，那么对应的x的值是（） A3 B5 C-3和5 D3和-52二次函数y=ax2+bx+c（a0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（） A函数有最小值 B对称轴是直线 C当，y随x的增大而减小 D当-1x2时，y03已知二次函数y=-x2+2bx+c，当x1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（） Ab-1 Bb-1 Cb1 Db14如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线的顶点，则方程的解的个数是（）A0或2 B0或1 C1或2 D0，1或25如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，-2）它与反比例函数y=-的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）
