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1、21.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算学习目标1.理解平行向量基本定理，能熟练运用该定理处理向量共线和三点共线问题.2.理解轴上向量坐标的含义及运算.3.能运用轴上向量的坐标及长度公式进行相关的计算知识点一平行向量基本定理思考若b与非零向量a共线，是否存在满足ba？若b与向量a共线呢？答案若b与非零向量a共线，存在满足ba；若b与向量a共线，当a0，b0时，不存在满足ba.梳理(1)平行向量基本定理：如果ab，则ab；反之，如果ab，且b0，则一定存在唯一一个实数，使ab.(2)a的单位向量：给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，记作a0.由数乘向量的定义可
2、知，a|a|a0或a0.知识点二轴上向量的坐标及其运算思考1轴与数轴有何区别与联系？答案规定了方向和长度单位的直线叫做轴，而数轴是规定了坐标原点的轴思考2实数与数轴上的向量建立了什么关系？答案数轴上的实数与轴上的向量建立起一一对应的关系，可以用数值表示向量思考3与AB有何区别？答案是一个向量，既有大小，也有方向，而AB表示的坐标，它是一个实数梳理(1)轴上向量的坐标名称定义轴规定了方向和长度单位的直线叫做轴轴的基向量取单位向量，使其方向与轴同方向，则该单位向量为轴的基向量a在轴l上的坐标如果axe，则x叫做向量a在轴l上的坐标(或数量)(2)轴上向量的坐标运算法则(或公式)文字语言符号语言轴上
3、两个向量相等的法则轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等设ax1e，bx2e，则abx1x2轴上求两个向量的和的法则轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和设ax1e，bx2e，则ab(x1x2)e轴上向量的坐标公式轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标ABx2x1，|AB|x2x1|1若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.()提示当b0，a0时，实数不唯一2若ba，则a与b共线()提示由向量共线定理可知其正确3若a0，则a0.()提示若a0，则a0或0.类型一轴上向量的坐标运算例1已知A，B，C为数轴上三点，且xA2，xB6，试求符合下列条件的点C的坐标(1)AC10；(2)|
4、10；(3)|3|.解(1)AC10，xCxA10，xCxA108.(2)|10，AC10或AC10，当AC10时，xCxA10，xCxA108；当AC10时，xCxA10，xCxA1012.(3)|3|，3或3.当3时，xCxA3(xCxB)，xC(3xBxA)10；当3时，xCxA3(xCxB)，xC(3xBxA)4.反思与感悟轴上向量的坐标及长度计算的方法(1)轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标；(2)轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度跟踪训练1已知数轴上A，B两点的坐标x1，x2，根据下列各题中的已知条件，求点A的坐标x1.
5、(1)x23，AB5；(2)x25，|AB|2.解(1)ABx2x15，x1x252.(2)|AB|x2x1|2，x2x12或2.x1x2(2)3或x1x227.类型二向量共线的判定及应用命题角度1判定向量共线或三点共线例2已知非零向量e1，e2不共线(1)若ae1e2，b3e12e2，判断向量a，b是否共线解b6a，a与b共线(2)若e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A，B，D三点共线证明e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线反思与感悟(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线(2)
6、利用平行向量基本定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用ba(a0)，还要说明向量a，b有公共点跟踪训练2已知非零向量e1，e2不共线，如果e12e2，5e16e2，7e12e2，则共线的三个点是_答案A，B，D解析e12e2，5e16e27e12e22(e12e2)2，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线命题角度2利用向量共线求参数值例3已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定k的值解ke1e2与e1ke2共线，存在实数，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2.又e1与e2不
7、共线，k1.反思与感悟利用平行向量基本定理，即b与a(a0)共线ba，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值跟踪训练3已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若xy，则xy_.答案1解析由于A，B，P三点共线，则，在同一直线上，由平行向量基本定理可知，一定存在实数使得，即()，(1).x1，y，xy1.1已知数轴上两点A，B的坐标分别是4，1，则AB与|分别是()A3,3 B3,3 C3，3 D6,6答案B解析AB1(4)3，|3|3.2数轴上三点A，B，C的坐标分别为1,2,5，则()AAB3 BBC3C.6 D.3答案B3设e1，e2是两个不共线的向量，若向量me1ke
8、2 (kR)与向量ne22e1共线，则()Ak0 Bk1 Ck2 Dk答案D解析当k时，me1e2，n2e1e2.所以n2m，此时，m，n共线4已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且，则()AP在ABC内部BP在ABC外部CP在AB边上或其延长线上DP在AC边上答案D解析，2，P在AC边上5已知e1，e2是不共线的向量，a3e14e2，b6e18e2，则a与b是否共线？解若a与b共线，则存在R，使ab，即3e14e2(6e18e2)，所以(36)e1(48)e20.因为e1与e2不共线，所以所以不存在，所以a与b不共线1平行向量基本定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化
9、为向量共线问题2轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.一、选择题1在ABC中，点P是BN上的一点，若m，则实数m的值为()A. B. C. D.答案C解析B，P，N三点共线，又m，m，m1，m.2在ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则等于()A. B. C. D.答案B解析A，B，D三点共线，1，.3设a，b不共线，2apb，ab，a2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值是()A2 B1 C1 D2答案B解析ab，a2b，2ab.又A，B，D三点共线，共线设，2apb(2ab)，22，p，1，p1.4已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且，满足等式，则四边形ABCD是()A
10、平行四边形 B菱形C梯形 D等腰梯形答案A解析，而，.又与不重合，ABCD且ABCD.四边形ABCD为平行四边形5已知向量a3b，5a3b，3a3b，则()AA，B，C三点共线 BA，B，D三点共线CA，C，D三点共线 DB，C，D三点共线答案B解析5a3b3a3b2a6b2(a3b)2，.又，都过点B，A，B，D三点共线6已知a，b是不共线的向量，ab，ab(，R)，那么A，B，C三点共线的条件是()A2 B1C1 D1答案D解析由ab，ab(，R)及A，B，C三点共线，得t，所以abt(ab)tatb，得所以1.故选D.7在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C
11、，D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析设y，yy()y(1y)，又3，点O 在线段CD上(与点C，D不重合)，y.x(1x)，xy，x.二、填空题8设向量a，b不平行，若向量ab与a2b平行，则实数_.答案解析向量a，b不平行，a2b0.又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，则解得.9设e1，e2是两个不共线的向量，关于向量a，b，有：a2e1，b2e1；ae1e2，b2e12e2；a4e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2.其中a，b共线的有_(填序号)答案10设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke
12、12e2与8e1ke2方向相反，则k_.答案4解析由题意得，存在0，使得ke12e2(8e1ke2)，822，2.又0，k84.三、解答题11已知数轴上有A，B，C三点(1)若AB2，BC3，求向量的坐标；(2)若ABBC，求证：B是AC的中点(1)解ACABBC5，即向量的坐标为5.(2)证明ABBC，xBxAxCxB，xB，故B是AC的中点12若非零向量a与b不共线，ka2b与3akb共线，试求实数k的值解ka2b与3akb共线，存在实数，使得ka2b(3akb)，(k3)a(2k)b0，(k3)a(k2)b.a与b不共线，k.四、探究与拓展13.如图所示，平行四边形ABCD，点E在边AB上，且BEBA，点F为对角线BD上的点，且BFBD，则()AE，F，C三点共线，且BE，F，C三点共线，且CE，F，C三点共线，且DE，F，C三点不共线答案B解析不妨设
