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1、求函数零点近似值的一种计算方法-二分法 威海二中 陈 梅一 教材分析1 教材的地位和作用本节课是新教材人教B版必修1第2章第4节第2小节的内容。新教材在函数一章中增加了函数与方程一节，介绍函数的零点的性质和求法。我认为这样安排的目的是想把方程纳入函数中，让函数思想贯穿于整个高中数学课程中。 本节课利用二分法求函数零点的近似解是对第一节函数零点知识的应用和提升，更重要的是：我认为通过本节课的学习，学生能够初步了解“步骤化，程序化”是算法思想的主要特征，为必修3的算法初步一章的学习埋下伏笔，同时，本节课所渗透的逼近和近似思想，也是学生后继学习的重要思想基础。2 教学目标知识与技能目标：了解二分法是
2、求函数近似零点的常用方法。能够借助计算器用二分法求函数的近似零点。 情感与价值观目标： 在具体的问题情境中感受无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一。在探究解决问题的过程中，培养学生与人合作的态度，表达与交流的意识和勇于探索的精神。3 教学重点与难点我个人认为本节课的教学重点是：运用二分法求具体函数的近似零点。难点是：二分法的引入过程。二 教法学法设计 为了突出重点，突破难点，我认为本节课采用“问题-情境式”教学比较好，之所以采用这种教学模式 ，是因为：我想通过实际问题的情境创设，有效激发学生学习和探究的欲望，并在情境中得到数学思想的启示。在教学过程中为了充分发挥学生的主体地位，我打算把二分
3、法这种抽象思想的引入以及如何采用二分法求零点都交给学生去做，教师只需适当提醒，适时补充即可。本着这个原则，我想从以下四个环节展开课题：1 创设知识情境，引入问题 2 创设思想情境，引出二分法3 具体实施二分法，完成求解过程4 巩固深化，反馈练习。 另外,在教学过程中适时利用多媒体辅助教学，使内容更清楚明了。三 教学过程1 创设知识情境，引入问题求下列函数的零点 在这里我没有采用课本上的引入方式，而是给出三个小题复习引入，让学生去求零点。之所以这样设计，是想达到以下目的： 目的1：巩固上节课知识，让学生能够熟练求出函数的零点，并且通过第小题提醒学生，求零点要注意定义域。 目的2：通过小题的比较，
4、引出变号零点和不变号零点的定义，明确变号零点的左右两侧函数值异号，而不变号零点的左右两侧函数值同号。为本节课求函数的变号零点作出知识铺垫。 目的3：通过第小题让学生体会：高于二次的函数可以通过因式分解的办法求出零点，前提是函数的表达式可以因式分解。 那么，是否所有的函数求零点都可以采用上述办法解决呢？ 提出问题：求函数的变号零点的近似值。（精确到0.1） 让学生尝试求解，预期结果是：学生发现无法采用因式分解的方法求出零点，即现有的办法行不通。 那怎么办呢？ 从而引发学生的认知冲突，导出本节课要探究的具体问题，激发学生强烈的求知欲望。2 创设思想情境，引出二分法为了让学生能够自己想到解决问题的办
5、法，我打算引入这样一个生活实例，来创设问题情境：2008年春节前夕，我国南方遭遇了百年不遇的特大雪灾，暴雪和冻雨导致南方很多地区电路瘫痪，给百姓工作和生活带来严重影响。经电力部门初步检测，现确定是位于A地到B地一段30公里长的高压电线有一处发生了故障，急需抢修。那么，维修人员怎样才能迅速查出故障发生的确切位置（精确的0.1米）？你有没有高效的查找方案？让学生思考，讨论，发表意见。预期结果：学生会想到在这段电路上，只要取半检查，然后再取半，再取半，就可以比较迅速的找到故障发生的确切位置，从而引出二分法的思想。设计意图：把抽象的思想方法蕴涵在形象的生活情境中，让学生自己发现解决问题的方法，从而对二
6、分法和逼近思想有初步的感性的认识，为进一步探究做出思想方法上的准备。教师接着引导：在上面这个求函数变号零点的问题中，零点可不可以看成是这个实际问题中发生故障的地点呢？如果能的话，可不可以也采用这种办法解决呢？ 让学生分组讨论，拿出求解的简单方案。设计意图：让学生通过比较联想，找到这个生活实例与这个数学问题之间的某些类似的特征和密切的联系，运用类比推理的思想把抽象的问题形象化，由已知推测未知，发现解决问题的方法，从而突破难点。此题通过教师引导，让学生展示自己的求解方案：先找初始区间，再一步一步缩小这个区间，直到找出符合要求的零点为止。3 具体实施二分法，完成求解过程通过类比推理，学生已经把求函数
7、近似零点的方法找到了，接下来，由师生合作共同板演解题过程。期间教师可以采用提问的方式帮助学生理清思路，注意细节。问题1：如何找出零点的初始区间？由变号零点的性质，学生可以自然想到试值法，找出两点使这两点的函数值异号即可。比如：检验发现所以在上一定有零点。我们可以把作为零点的初始区间。当然，初始区间可以找出很多个，我们选择哪一个呢？选择使运算更简洁的那一个。由此，师生共同总结抓住本质：变号零点一定落在整数点处或两相邻整数a,b之间，且。问题2：如何进一步缩小零点所在的区间？让学生自己动手利用计算器完成下面的表格。两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果。之所以这样设计是因为：“缩小区间，逼近零点
8、”是二分法的核心环节，是本节课的重点内容。必须让学生亲自运算，体会才能更深刻。问题3：通过表格，精确到0.1的零点是多少？运算可以在哪一步终止？中点在这里，要想找到满足条件的零点，教师和学生每填一行，教师都问学生：可以终止运算了么？连续发问，直到学生喊停为止。设计意图：让学生明确：计算到何时终止，取决于近似零点与真正零点的误差要求，把自主权还给学生。问题4：若题目要求精确到0.01，则结果是多少？设置这个问题是让学生进一步明确如何按照给定的精确度确定零点的近似值，培养学生的深入探究意识，感受精确与近似的相对统一。4巩固深化，反馈练习反馈练习： 用二分法求函数的正零点的近似值。（精确到0.1）设
9、计意图：学生在利用二分法求零点的过程中，会发现在上所取的每个点处的函数值均为正，即找不到零点所在的初始区间，通过练习让学生明确用二分法只能求函数的变号零点，而不变号零点是不能采用二分法求解的，因为根本找不到初始区间。此题可以采用因式分解的办法求的正零点为x=1,这是一个不变号零点。 利用计算器，用二分法求的近似值（结果保留3位有效数字）。（此题可先构造函数再用二分法求解，对于现有高一学生的认知水平而言，可能有一定难度，教师可以适当提示：用二分法求的近似值，也即用二分法求函数的正零点的近似值。）设计意图：加深和完善学生对二分法的认识，回扣本节重点。同时，第小题还渗透给学生“构造函数”的思想以及“
10、用有理数逼近无理数”的数学思想。自我小结： 这个环节我准备交给学生，让学生自己谈谈心得和体会。通过交流，使学生对二分法的适用范围，用二分法求函数零点的一般步骤，以及二分法的优势和不足有一个完整深入的了解，从而对二分法的认识从感性上升到理性。课后作业：作业1：求函数的一个正零点（误差不超过0.1）。作业2：实际应用：在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（质量稍轻），现在只有一台天平，请问：你最少称几次就可以发现这枚假币？设计意图：作业1帮助学生进一步巩固如何用二分法求函数零点。作业2是实际问题，考查学生的应用能力。同时帮助学生培养浓厚的学习兴趣，热爱数学。四. 补充说明1 本
11、节课中函数零点的概念是采用了新教材B版给出的定义，即函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标。有时也直接把函数的图象与x轴的公共点定义为零点。2 因高中阶段不学习连续函数的概念，所以教材中把连续函数表述成：连续不间断的函数。3 本节课我采用“问题情境式”教学模式，所以在提出问题，给出情境之后，只需适当点拨，就完全放手给学生，让学生从思想方法到具体过程都亲历亲为，为学生搭建自我发现自主探究的平台。板书设计： 242 求函数零点近似值的一种计算方法二分法 1变号零点和不变号零点 2求函数的变号零点的近似值。（精确到0.1 课堂小节： 课后作业： 求函数零点近似值的一种计算方法-二分法威海二中 陈 梅2008年3月
