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1、递归数列通项求解 2012年9月一、形如：f(an,Sn)=0,用公式an=将其转化为Sn递推式或an的递推式求解.例1：已知正项数列an满足Sn=( an+),求an的表达式提示：将代入Sn=( an+)消得，数列是一个等差数列，或Sn=( an+),与相减 得 两边平方得 即数列为等差数列，。所以例2：已知数列an的前n项和为Sn，an0，a1=12且满足4Sn=+2an120，求an的通项公式提示：易得。得例3，设正项数列对一切都有，为的前n项和.(1)求证： （2）求的通项公式 答案二、形如：an+1= an+ f(n)型，求an用累加法，得或迭代法或者差和法：例：已知a11，an+1
2、= an2 n+1，求an 三、形如：an+1= an f(n)， a1已知，用累积法：或迭代法：或者换元法：化为，其中为常数，数列为等比数列例1：已知数列an，bn满足a11，b14，数列an的前n项和为Sn满足nSn1(n+3) Sn=0, 2an+1为bn与bn+1的等比中项，求an，bn 提示易有为常数列例2：求 提示化为累积得，再求和答案例3已知。（1）求 （2）设数列前n项和 答案（1） （2）例4：已知（2）记 答案（1） （2）略四、形如： an+1= panq，a1已知，（p，q为常数p1）用迭代法: =.=或两边同减x,化递推式为所以成以为首项，公比为q的等比数列，从而求出
3、或与则 an+1an 为以为首项以p为公比的等比数列,求出通项公式，再用差和法或与原递推式联立求出或将递推式化为=q()n+1,如型二求解例: 已知a11，an+1=3 an2, 求an 答案：五、形如：a1a，an+1= panr qn若p=q，则= 化为二若pq，则变为= r ()n，如二或变为 如四或待定系数法：两边同加上则anx qn为以为首项以p为公比的等比数列.从而求出例1：已知a11，an+1= 52 n+1，求an 提示数列是首项为21公比为3的等比数列，答案例2设为常数，且（1）证明对任意（2）假设对任意有求的取值范围。 答案六、形如：a1a，an+1= panf(n)，求a
4、n类似五变形，用待定系数法化为，构造等比数列解之.其中与同型同构例1. 已知a11，an+1=3 an2n152 n+1，求an 提示化为答案：例2. 已知a11，an+1=3 an(2n1)2 n+1，求an 提示可化为答案：七、形如：an+1 an =f(n)， a1已知.由可对分奇数项、偶数项分别求通项。或对递推式两边取对数成类型五解决例1：已知无穷数列an相邻两项an，an+1是方程x2Cnx()n0两根，。求C1C2C3Cn 提示易得对，分奇数项，偶数项分别求通项 。答案（）例2：已知数列an满足a11, a2，且3+(1)n an+22an2(1)n10求an 设bna2n 1 a
5、2n，求数列bn的前n项和为Sn提示：对n分奇偶性讨论。（1）易得 即是公比为的等比数列，是公差为2的等差数列 （2）对n分奇偶性讨论：略答案当为奇数时，当为偶数时。 八、形如：an+1= f(n) ang(n)，a1已知.例1：已知an满足a11，对任意nN*，an+1求an 若bn，数列an的前n项和为Sn,证明Sn3 提示化递推式为，再用差和法答案（1） （2）提示九、整式线性递归数列：a1a，a2b,且an+2=p an+1qan，求an用待定系数法：两边同减去，化简整理得令。设其两根为则若则原递推式可化为及.即是以为首项以为公比的等比数列。是以为首项以为公比的等比数列。所以：。（2）
6、联立解得 若则有即 是以为首项以为公比得等比数列。所以。两边同除以得。即数列是一个等差数列，从而可导出 若为虚数，则数列为周期数列。例1： 已知a11，a25, an+15an6 an1，求an 答案例2：已知a11，a22，an+16an9 an1，求an 答案例3： 已知a11，a23，an+1anan1，求an 答案：1，3，2，-1，-3，-2，1，3，2，-1，。表达式例4：已知数列满足： 求证：十、形如：a1a，a2b,且an+2=p an+1qanf(n)，求an变形如九，或用九变形成六由得两根。则递推式可化为（或）。记，则有成型六可得。特殊的当递推式可化为成型九例1：已知a11
7、，a25, an+2=5an+16an2，求an 提示化递推式为令成型九 答案例2：设数列满足 且求证：是完全平方数提示：消得 化为法同上例1得，再证例3：已知数列满足 且。（n2）求提示得，例43：已知a11，a25, an+2=5an+16an5n2，求an 提示易得数列首项公比为3的等比数列，数列是首项为14公比为2的等比数列。答案例5：已知a11，a25， an+2=5an+16an2 n+1，求 提示易得数列首项为7公比为3的等比数列，数列是首项为1公差为1的等差数列。 答案十一、分式线性递归数列：a1a，an+1( p0), 求an若S=0,则 ，记bn，则化为型四若S0，两边同减
8、，令即若则有记，则为 的型式， 若可得及两式相比得，所以是以为首项，以为公比的等比数列，从而可求出的通项公式，再求出的通项公式 若是虚数，则数列是有限数列或周期数列。例1：已知a12，an+1, 求an 答案提示递推式化为数列是等比数列例2：已知a11，an+1, 求an 答案提示可化为数列是等差数列例3已知 求提示：递推式可化为易得例4：数列中，且（1） 设求数列的通项公式（2） 设数列的前项和为，证明：答案：（1） （2）略例5：已知a11，an+1, 求an 答案提示可化为，先求十二、非线性递推数列1配方例1：已知正项数列an中，a01, an+1an(4an)( nN)证明anan+1
9、2 求an的表达式提示（2）配方为再取对数解决。得例2：已知数列满足 求证 提示：递推式可化为 可得 例3：已）知a14，, an+1,求an提示用比例性质化为取对数解决。例4：已知 求 提示： 易得 所以 例5：已知 求提示：易得，消得，推得： 一般地、求的通项公式，可用函数的不动点来求，在时，有两个相异实根则例6：已知a13， an+1,求an 提示用比例性质可化为再取对数解决。2换元例1：已知a12，an+1an1,求证对一切nN*，anN 设得 答案例2：已知。求 提示记，有可由型四求再求 答案例3：已知数列xn满足x1, xn+1xn,且数列xn的前n项和为Sn求xn表达式 证明 提
10、示：设 则， 可得从而可得答案（1），（2）略例4：已知数列an，bn满足a0, b01,且an+1, bn+1证明: 2 n+2 an2 n+2 bn提示设 得再由时，即证例5：已知。求 提示设 则是等比数列 答案例6设 已知 且 （1）若 求 （2）若 求提示（1）易得 设， 则 且 。 （2）易得 设 易得其中 答案3转化为线性例1：已知且 求提示：取倒数得 记 有成型九求出再求 答案例2：已知a11，an+12an,求an 提示移项平方整理得进而由一元二次方程根与系数关系得可用型九解之得例3：已知a10，an+15an,求anN 提示：法同例1得再用整数性质证之例4：已知且。求 提示递
11、推式可化为，令则且。且再解之例5：已知正项数列满足 （1）求（2）设确定最小正整数使为整数 提示：原递推式可化为 数列为以为首项以2为公比的等比数列答案（1）。 十三、归纳，猜想与论证解决数列通项例1：已知x2cos,且anxn,求an关于的表达式 答案例2：已知a11，an+1ancosxcosnx,求an 答案例3：已知a11, a2，an+1,求an 答案例4：已知数列满足 且（1） 求的通项公式（2） 令 为数列的前项和 证明：提示:（1）易得 (2) 例5：已知数列Un定义为U02，U1，Un+1Un（Un122）U1(nN)证明对一切nN*，Un= 2 提示：计算。归纳。猜想递推式再求之 略解：考察从而猜想其中待定且 代入有如果选择则所以总有即因此指数满足再由类型九易得所以 为负整数 所以Un= 2
