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1、初一数学竞赛讲座第3讲 奇偶分析我们知道，全体自然数按被2除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。被2除余1的属于一类，被2整除的属于另一类。前一类中的数叫做奇数，后一类中的数叫做偶数。关于奇偶数有一些特殊性质，比如，奇数偶数，奇数个奇数之和是奇数等。灵活、巧妙、有意识地利用这些性质，加上正确的分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题。用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析，善于运用奇偶分析，往往有意想不到的效果。例1 右表中有15个数，选出5个数，使它们的和等于30，你能做到吗？为什么？分析与解：如果一个一个去找、去试、去算，那就太费事了。因为无论你选择哪5个数，它们的和总不等于30，而且你还不敢
2、马上断言这是做不到的。最简单的方法是利用奇偶数的性质来解，因为奇数个奇数之和仍是奇数，表中15个数全是奇数，所以要想从中找出5个使它们的和为偶数，是不可能的。例2 小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。试问，小丽所加得的和数能否为2000？解：不能。由于每一张上的两数之和都为奇数，而25个奇数之和为奇数，故不可能为2000。说明：“相邻两个自然数的和一定是奇数”，这条性质几乎是显然的，但在解题过程中，能有意识地运用它却不容易做到，这要靠同学们多练习、多总结。例3 有98个孩
3、子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。解：不能。如果可以按要求排成，每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和，那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的2倍，是个偶数。所以这98个号码数的总和是个偶数，但是这98个数的总和为1+2+98=9949，是个奇数，矛盾！所以不能按要求排成。例4 如右图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。解：不可能。 如果每条直线上的红圈数都是奇数，而五角星有五条边，奇数个奇数之和为
4、奇数，那么五条线上的红圈共有奇数个（包括重复的）。从另一个角度看，由于每个圆圈是两条直线的交点，则每个圆圈都要计算两次，因此，每个红圈也都算了两次，总个数应为偶数，得出矛盾。所以，不可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数。说明：上述两题都是从两个不同的角度去分析处理同一个量，而引出矛盾的。 / 例5 有20个1升的容器，分别盛有1，2，3，20厘米3水。允许由容器A向容器B倒进与B容器内相同的水（在A中的水不少于B中水的条件下）。问：在若干次倒水以后能否使其中11个容器中各有11厘米3的水？解：不可能。在倒水以后，含奇数立方厘米水的容器数是不会增加的。事实上以（偶，偶）（偶，奇）（奇，奇）来表
5、示两个分别盛有偶数及偶数，偶数及奇数，奇数及奇数立方厘米水的容器。于是在题中条件限制下，在倒水后，（偶，偶）仍为（偶，偶）；而（偶，奇）会成为（偶，奇）或（奇，偶）；（奇，奇）却成为（偶，偶）。在任何情况下，盛奇数立方厘米水的容器没有多出来。因为开始时有10个容器里盛有奇数立方厘米的水，所以不会出现有11个盛有奇数立方厘米水的容器。例6 一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话。某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人。外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人。”另一个成员李四说：
6、“张三是老实人。”请判断李四是老实人还是骗子？分析与解：根据俱乐部的全体成员围坐一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人的条件，可知俱乐部中的老实人与骗子的人数相等，也就是说俱乐部的全体成员总和是偶数。而张三说共有45人是奇数，这说明张三是骗子，而李四说张三是老实人，说了假话，所以李四也是骗子。说明：解答此题的关键在于根据题设条件导出老实人与骗子的人数相等，这里实质上利用了对应的思想。类似的问题是：围棋盘上有1919个交叉点，现在放满了黑子与白子，且黑子与白子相间地放，并使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉点上放着白子（或黑子）。问：能否把黑子全移到原来的白子的位置上，而白子也全
7、移到原来黑子的位置上？提示：仿例6。答：不能。例7 某市五年级99名同学参加数学竞赛，竞赛题共30道，评分标准是基础分15分，答对一道加5分，不答记1分，答错一道倒扣1分。问：所有参赛同学得分总和是奇数还是偶数？解：对每个参赛同学来说，每题都答对共可得165分，是奇数。如答错一题，就要从165分中减去6分，不管错几道，6的倍数都是偶数，165减去偶数，差还是奇数。同样道理，如有一题不答，就要减去4分，并且不管有几道题不答，4的倍数都是偶数，因此，从总分中减去的仍是偶数，所以每个同学的得分为奇数。而奇数个奇数之和仍为奇数，故99名同学得分总和一定是奇数。例8 现有足够多的苹果、梨、桔子三种水果，
8、最少要分成多少堆（每堆都有苹果、梨和桔子三种水果），才能保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数。分析与解：当每堆都含有三种水果时，三种水果的奇偶情况如下表：苹 果奇奇奇奇偶偶偶偶桔 子奇偶偶奇偶奇偶奇梨奇偶奇偶偶奇奇偶可见，三种水果的奇偶情况共有8种可能，所以必须最少分成9堆，才能保证有两堆的三种水果的奇偶性完全相同，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数。说明：这里把分堆后三种水果的奇偶情况一一列举出来，使问题一目了然。例9 有30枚2分硬币和8枚5分硬币，5角以内共有49种不同的币值，哪几种币值不能由上面38枚硬币组成？解：当币值为偶数时，可以用若干枚2分硬币组成；当
9、币值为奇数时，除1分和3分这两种币值外，其余的都可以用1枚5分和若干枚2分硬币组成，所以5角以下的不同币值，只有1分和3分这两种币值不能由题目给出的硬币组成。说明：将全体整数分为奇数与偶数两类，分而治之，逐一讨论，是解决整数问题的常用方法。若偶数用2k表示，奇数用2k+1表示，则上述讨论可用数学式子更为直观地表示如下：当币值为偶数时，2k说明可用若干枚2分硬币表示；当币值为奇数时，2k+1=2（k-2）+5，其中k2。当k=0，1时，2k+1=1，3。1分和3分硬币不能由2分和5分硬币组成，而其他币值均可由2分和5分硬币组成。例10 设标有A，B，C，D，E，F，G的7盏灯顺次排成一行，每盏灯
10、安装一个开关。现在A，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯没亮。小华从灯A开始顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关，他这样拉动了999次开关后，哪些灯亮着，哪些灯没亮？解：一盏灯的开关被拉动奇数次后，将改变原来的状态，即亮的变成熄的，熄的变成亮的；而一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变原来的状态。由于999=7142+5，因此，灯A，B，C，D，E各被拉动143次开关，灯F，G各被拉动142次开关。所以，当小华拉动999次后B，E，G亮，而A，C，D，F熄。例11 桌上放有77枚正面朝下的硬币，第1次翻动77枚，第2次翻动其中的76枚，第3次翻动其中的75枚第77次翻动其中的1枚。按这
11、样的方法翻动硬币，能否使桌上所有的77枚硬币都正面朝上？说明你的理由。分析：对每一枚硬币来说，只要翻动奇数次，就可使原先朝下的一面朝上。这一事实，对我们解决这个问题起着关键性作用。解：按规定的翻动，共翻动1+2+77=7739次，平均每枚硬币翻动了39次，这是奇数。因此，对每一枚硬币来说，都可以使原先朝下的一面翻朝上。注意到：7739=77+（76+1）+（75+2）+（39+38），根据规定，可以设计如下的翻动方法：第1次翻动77枚，可以将每枚硬币都翻动一次；第2次与第77次共翻动77枚，又可将每枚硬币都翻动一次；同理，第3次与第76次，第4次与第75次第39次与第40次都可将每枚硬币各翻动
12、一次。这样每枚硬币都翻动了39次，都由正面朝下变为正面朝上。说明：（1）此题也可从简单情形入手（如9枚硬币的情形），按规定的翻法翻动硬币，从中获得启发。（2）对有关正、反，开、关等实际问题通常可化为用奇偶数关系讨论。例12 在88的棋盘的左下角放有9枚棋子，组成一个33的正方形（如左下图）。规定每枚棋子可以跳过它身边的另一枚棋子到一个空着的方格，即可以以它旁边的棋子为中心作对称运动，可以横跳、竖跳或沿着斜线跳（如右下图的1号棋子可以跳到2，3，4号位置）。问：这些棋子能否跳到棋盘的右上角（另一个33的正方形）？解：自左下角起，每一个方格可以用一组数（行标、列标）来表示，（自下而上）第i行、（自
13、左而右）第j列的方格记为（i，j）。问题的关键是考虑9枚棋子（所在方格）的列标的和S。一方面，每跳一次，S增加0或偶数，因而S的奇偶性不变。另一方面，右上角9个方格的列标的和比左下角9个方格的列标之和大3（6+7+8）-3（1+2+3）=45，这是一个奇数。综合以上两方面可知9枚棋子不能跳至右上角的那个33的正方形里。奇偶分析作为一种分析问题、处理问题的方法，在数学中有广泛的应用，是处理存在性问题的有力工具，本讲所举例题大多属于这类问题。这种方法具有很强的技巧性，尤其是选择什么量进行奇偶分析往往是很困难的。选准了，只须依据奇偶数的性质，分析这个量的奇偶特征，问题便迎刃而解；选不好，事倍功半。同
14、学们应认真领会本讲所举例题，以把握选择合适的量进行奇偶分析的技巧。练习31下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？ += -= =2任意取出1234个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？3一串数排成一行，它们的规律是：前两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。如右所示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，试问：这串数的前100个数（包括第100个数）中，有多少个偶数？4能不能将1010写成10个连续自然数之和？如果能，把它写出来；如果不能，说明理由。5能否将1至25这25个自然数分成若干组，使得每一组中的最大数都等于组内其余各
15、数的和？6在象棋比赛中，胜者得1分，败者扣1分，若为平局，则双方各得0分。今有若干个学生进行比赛，每两人都赛一局。现知，其中有一位学生共得7分，另一位学生共得20分，试说明，在比赛过程中至少有过一次平局。7在黑板上写上1，2，909，只要黑板上还有两个或两个以上的数就擦去其中的任意两个数a，b，并写上a-b（其中ab）。问：最后黑板上剩下的是奇数还是偶数？8设a1，a2，a64是自然数1，2，64的任一排列，令b1=a1-a2，b2=a3-a4，b32=a63-a64；c1=b1-b2，c2=b3-b4，c16=b31-b32；d1=c1-c2，d2=c3-c4，d8=c15-c16；这样一直做下去，最后得到的一个整数是奇数还是偶数？练习3答案：1至少有6个偶数。2奇数
