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1、第19讲 正态总体参数的区间估计教学目的:理解区间估计的概念,掌握各种条件下对一个正态总体的均值和方差进行区间估计的方法。教学重点:置信区间的确定。教学难点:对置信区间的理解。教学时数: 2学时。教学过程:第六章 参数估计6.3正态总体参数的区间估计1. 区间估计的概念我们已经讨论了参数的点估计,但是对于一个估计量,人们在测量或计算时,常不以得到近似值为满足,还需估计误差,即要求知道近似值的精确程度。因此,对于未知参数,除了求出它的点估计外,我们还希望估计出一个范围,并希望知道这个范围包含参数真值的可信程度。 设为未知参数的估计量,其误差小于某个正数的概率为,即 或 这表明,随机区间包含参数真
2、值的概率(可信程度)为,则这个区间就称为置信区间,称为置信水平。定义 设总体的分布中含有一个未知参数。若对于给定的概率,存在两个统计量与,使得则随机区间称为参数的置信水平为的置信区间,称为置信下限,称为置信上限,称为置信水平。注(1)置信区间的含义:若反复抽样多次(各次的样本容量相等,均为),每一组样本值确定一个区间,每个这样的区间要么包含的真值,要么不包含的真值。按伯努利大数定理,在这么多的区间中,包含真值的约占,不包含真值的约仅占。例如:若,反复抽样1000次,则得到的1000个区间中,不包含真值的约为10个。(2)置信区间的长度表示估计结果的精确性,而置信水平表示估计结果的可靠性。对于置
3、信水平为的置信区间,一方面置信水平越大,估计的可靠性越高;另一方面区间的长度越小,估计的精确性越好。但这两方面通常是矛盾的,提高可靠性通常会使精确性下降(区间长度变大),而提高精确性通常会使可靠性下降(变小),所以要找两方面的平衡点。在学习区间估计方法之前,我们先介绍标准正态分布的分位点概念。设,若满足条件,则称点为标准正态分布的分位点。例如求。按照分位点定义,我们有,则,即。查表可得. 又由图形的对称性知。下面列出了几个常用的值:0.0010.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3271.9601.6451.2822. 正态总体均值的区间估计设已给定置信水平为,总
4、体,为一个样本,分别是样本均值和样本方差。(1)已知时,的置信区间 我们知道是的无偏估计,且有统计量 。由标准正态分布的上分位点的定义,有 即 这样,我们就得到了的一个置信水平为的置信区间 这样的置信区间常写成 例1 从某厂生产的滚珠中随机抽取10个,测得滚珠的直径(单位:mm)如下:14.6 15.0 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8若滚珠直径服从正态分布,并且已知(mm),求滚珠直径均值的置信水平为95%的置信区间。解 计算样本均值,置信水平=0.95,查表得(可利用查表)。由此得的置信水平为95%的置信区间为 即 注:置信水平为的置信区间并不
5、是唯一的。以例1来说,给定,则又有 故 也是的置信水平为95%的置信区间,其区间长度为。而在对称区间上,区间长度为, 比非对称区间长度要短,较优。易知,像分布那样其概率密度的图形是单峰且对称的情况,当固定时,以对称区间其长度为最短,我们选用对称区间。(2)未知时,的置信区间此时不能使用,因为其中包含了未知参数。考虑到是的无偏估计,将上述区间中的换成。我们已知统计量,可得即于是得到的一个置信水平为的置信区间 例2 在例1中,若未知,求滚珠直径均值的置信水平为95%的置信区间。解 计算样本均值,样本标准差;置信水平=0.95,自由度,查表得。 由此得的置信水平为95%的置信区间为 即 (14.92
6、-0.138,14.92+0.138)=(14.782,15.058) 注 比较例1和例2中的置信区间,可以发现当未知时,的置信区间区间长度要比已知时的置信区间区间长度大,这表明当未知条件增多时,估计的精确程度变差,这也符合我们的直观感觉。3. 正态总体方差的区间估计(1)已知时,的置信区间已知 但是分布的概率密度图形不是对称的,对于已给的置信水平,要想找到最短的置信区间是困难的。因此,习惯上仍然取对称的分位点和可得 即 于是得到方差的一个置信水平为的置信区间 例3 在例1中,若已知(mm),求滚珠直径方差的置信水平为95%的置信区间。解 已知,置信水平=0.95,自由度,查表得,。则方差的置信水平为95%的置信区间为 即 (2)未知时,的置信区间的无偏估计为,且统计量。选取分位点和可得 即 于是得到方差的一个置信水平为的置信区间 由此,我们还可以得到标准差的一个置信水平为的置信区间 注 在实际问题中,对做估计的时候,一般均是未知的情况。因此,我们重点掌握未知条件下求的置信区间问题。例4 在例1中,若未知,求滚珠直径方差的置信水平为95%的置信区间。解 未知,计算样本方差,置信水平=0.95,自由度,查表可得,。则方差的置信水平为95%的置信区间为 即(0.0177,0.1243)1